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★★★立体図形の問題。★★★

1 :132人目の素数さん:01/12/03 00:04
まず、1辺の長さが全て同じの立方体があります。
(いわゆる、サイコロの形ね)
それを、正面から丸く切り、真横から丸く切り、真上から丸く切る。
すると、どういった形になりますか??

知人に聞いたところ、答えは球では?といわれましたが、果たしてそうなのでしょうか??

どう考えても、頭がこんがらがってきて、わかりません。

2 :132人目の素数さん:01/12/03 00:05
ちまみに、まず真正面から丸く切ると、円柱になりますよね。

3 :132人目の素数さん:01/12/03 00:08
>まず、1辺の長さが全て同じの立方体があります。

そりゃあ立方体なら1辺の長さは全て同じだろうな。

4 :132人目の素数さん:01/12/03 00:11
切り抜くのが立方体である理由がよくわからん。
正面というのがどの部分をさして正面なのかも不明。
丸く切り抜くがどういう操作かきちんと書かれていない。

何より、新スレを立てる問題には到底思えない。質問スレ
逝けや。ヴォケ。

5 :にゃ=ん?:01/12/03 00:15
球ではないでしょ。
言い表しにくい変な形?

6 :にゃ=ん?:01/12/03 00:18
切り方によるか。(切る円の半径の大きさ)

7 :132人目の素数さん:01/12/03 00:28
その立方体を手にとって、見た面が正面になる。
立方体という条件をはずしたらどの方向から見た面を正面とするかの定義が必要になる。

8 :132人目の素数さん:01/12/03 00:44
好意的に解釈して
x^2+y^2≦1,y^2+z^2≦1,z^2+x^2≦1
をみたす領域の体積でしょ。
不等式3つじゃなくて2つのは頻出かな。

9 :132人目の素数さん:01/12/03 00:48
その体積むかし計算したことあります。
球よりちょっと大きいのはを確認した。
πがつかない。
ノートを探してみます。
(もう一度計算する気力はない)

10 :132人目の素数さん:01/12/03 00:49
球ではない

11 :132人目の素数さん:01/12/03 00:50
>>8
んでこれから球(とその内部)の方程式
x^2 + y^2 + z^2 ≦ 1
は成り立たない、ってことか。
しかし直感的な説明は難しいな…。図でも書かないと無理か。

12 :132人目の素数さん:01/12/03 00:52
>>11 ん、方程式という表現は変かな。まあいいか。
>>9 体積きぼんぬ。

13 :132人目の素数さん:01/12/03 01:05
Tバックの食い込みが、8個見えます。

14 ::01/12/03 01:15
体積は次の式で計算できます。Try it for yourself.

16 ∬ [0≦θ≦π/4, 0≦r≦1] √(1-(r cosθ)^2 rdrdθ

15 :132人目の素数さん:01/12/03 01:35
>>8
http://mizuki.sakura.ne.jp/~nagch/upb/file/1007310418.png
x^2+y^2≦1,y^2+z^2≦1の概形。

楕円の針金を2組用意して、短軸を重ね、長軸を直交させる。
水平方向に青線のような梁(ハリ)をかけていけばできあがり。
楕円の針金が交わる2点はとんがってない。

誰か本題のx^2+y^2≦1,y^2+z^2≦1,z^2+x^2≦1の概形を頼む。

画像うぷ板
http://mizuki.sakura.ne.jp/~nagch/upb/upb.cgi

16 :132人目の素数さん:01/12/03 01:47
>>14
V=16 ∬ [0≦θ≦π/4, 0≦r≦1] √(1-(r cosθ)^2 rdrdθ
 =16/3∫ [0≦θ≦π/4] (sinθ+1/(1+sinθ))dθ
までいった。あとは
∫ [0≦θ≦π/4]1/(1+sinθ)dθ
だけだ。さてどうしよう。

17 :132人目の素数さん:01/12/03 01:58
>>16
tan(x/2)=t
sinx=2t/(1+t^2)
cosx=(1-t^2)/(1+t^2)
dx=2dt/(1+t^2)

dx/(1+sinx)=2dt/(1+t)^2

18 :16:01/12/03 01:59
答えでたよ。
V=8(2-√2)≒4.68629
になった。
ちなみに球の体積は
4/3 π=4.18879

∫1/(1+sinθ)dθ=∫(1-sinθ)/cos^2θdθ
=tanθ- 1/cosθ
でいけた

19 :132人目の素数さん:01/12/03 02:03
おつ

20 :132人目の素数さん:01/12/03 02:15
さー次は表面積だ。

21 :132人目の素数さん:01/12/03 02:20
球にならないことだけなら(1/√2,1/√2,1/√2)が
x^2+y^2≦1,x^2+z^2≦1,y^2+z^2≦1を満たし
x^2+y^2+z^2≦1を満たさないことから分かる。
x^2+y^2+z^2≦1のとき
x^2+y^2≦x^2+y^2+z^2≦1などとなるから
{(x,y,z)|}⊂
{(x,y,z)|x^2+y^2≦1,x^2+z^2≦1,y^2+z^2≦1}

22 :132人目の素数さん:01/12/03 02:22
>{(x,y,z)|}⊂
{(x,y,z)|x^2+y^2+z^2≦1}⊂

23 :132人目の素数さん:01/12/03 02:25
表面積は
12×4∫[0,π/4] sinθdθ=24(2-√2)≒14.0589
ちなみに球の表面積は
4π≒12.5664

24 :132人目の素数さん:01/12/03 02:33
>>14の意味やっとわかったよ。
V=8∬ [0≦y≦x, x^2+y^2≦1] 2√(1-x^2) dxdy
だな

25 : :01/12/03 02:43
表面積は体積を微分したらでるの?
V(a)=8(2-√2) a^3
V'(a)=24(2-√2) a^2

26 :132人目の素数さん:01/12/03 02:57
正直、良スレだな。

27 :1:01/12/03 04:34
説明不足ですいません。
正確に書きます。
まずここに、半径2Aの立方体があります。
まず真正面の面に、半径Aの円を書きます(ぴったり収まる)
その円を同様に、真横と真上にも書きます。
そして、3方向から、切りとります。
で、残ったものの形を知りたいのです。
円でないことはわかりますが、何になるかが頭がこんがらがってわかりません。

まず、真正面から切った場合、円柱になることは解ります。
議に、真横から切った場合が・・・空想不可です

28 :132人目の素数さん:01/12/03 17:36
もういいよ。

29 :132人目の素数さん:01/12/03 19:07
画像うぷ板
http://mizuki.sakura.ne.jp/~nagch/upb/upb.cgi

30 :15:01/12/03 19:25
http://mizuki.sakura.ne.jp/~nagch/upb/file/000.jpg

既に画像作ってくれた人がいた。美すぃ。作者さんありがとう。
でもリンク貼ってくれなかったから>>27=1はわからず終いかな?

31 :132人目の素数さん:01/12/03 19:34
0≦x≦π/2,|y|≦Min(sin x,cos x)
の領域の形の紙を12枚作って
貼りあわせる。

32 :132人目の素数さん:01/12/03 19:47
>>31
支柱として円の針金を3組用意

33 :132人目の素数さん:01/12/03 20:05
工作教室ですか?
用紙を切り出した後にクセ付けするのは大変なので
丸めてクセがついたポスターかカレンダーを使う。

34 :132人目の素数さん:01/12/03 20:10
サインカーブの作図が・・・
print out ?

35 :132人目の素数さん:01/12/03 20:27
プラスチックのキット作って
売り出すといいね。

36 :132人目の素数さん:01/12/04 00:43
x^2+y^2≦1,y^2+z^2≦1,z^2+x^2≦1
の体積は 8(2-√2), 表面積は 24(2-√2)

y^2+z^2≦1,z^2+x^2≦1
の体積は 16/3, 表面積は 16

どちらもπがつかない。

円柱: x^2+y^2≦1, |z|≦1
球:x^2+y^2+z^2≦1
どちらの場合もπがつくのに・・・

なんとなく不思議な感じがする。

37 :132人目の素数さん:01/12/04 01:35
正直、良スレだな。

38 :132人目の素数さん:01/12/04 14:56
>>30
美しいね。
どうやって描いたんだろう?

39 :元気だま:01/12/04 16:46
>30 綺麗な対象図形だ。ちなみにこの問題むかし高校への数学で
取り上げてたよ。

40 :132人目の素数さん:01/12/04 16:49
これに名前つけよう。
さー皆さん考えて!

41 :132人目の素数さん:01/12/04 19:11
>>30
もうちょっと滑らかな円できってくれないかな?
(ぜいたく??)

42 :サ骨 ◆/IQ5000w :01/12/04 20:57
Shadeの練習兼ねてやってみたよー。
まず立方体
http://mizuki.sakura.ne.jp/~nagch/upb/file/1007466622.gif
左手前から右奥に1回目の切断
http://mizuki.sakura.ne.jp/~nagch/upb/file/1007466641.gif
右手前から左奥に2回目の切断
http://mizuki.sakura.ne.jp/~nagch/upb/file/1007466883.gif
最後に、上から下に向けて切断
http://mizuki.sakura.ne.jp/~nagch/upb/file/1007466895.gif

43 :132人目の素数さん:01/12/04 21:08
正直、良スレだな。

44 : :01/12/04 21:15
>>42
「パチパチパチ」(拍手)

45 :132人目の素数さん:01/12/04 21:30
3Dビューアなり使って自分で確認すれ。
http://mizuki.sakura.ne.jp/~nagch/upb/file/lll.dxf.zip

46 :132人目の素数さん:01/12/05 03:31
正直、良スレだな。

47 :頭痛い:01/12/05 14:33
某サイトで出題された問題です。
なんか問題文も今一よくわからないんですけど、
2時間ほど考えてたらわけわかんなくなっちゃいました。

縦、横、高さの各辺が同じ長さである立方体の木材と、
立派なノコギリがあります。
この立方体を27個の小さい立方体にきりたいのですが、
ノコギリは毎回、重ねて置いたいくつもの立方体を同時に
平面沿いに2つ切ることができます。
さて、ノコギリで最低何回切ればできるでしょう?

48 :132人目の素数さん:01/12/05 15:18
>ノコギリは毎回、重ねて置いたいくつもの立方体を同時に
>平面沿いに2つ切ることができます。

たぶんこうだろう
「ノコギリは毎回、重ねて置いたいくつもの直方体を同時に
平面沿いに2つに切ることができます。」
「立派なノコギリ」というのも笑えるが・・・

答えは2×3=6でいいのなら簡単だけど
ちがうやりかたあるの?


49 :132人目の素数さん:01/12/05 15:56
>27個の立方体に分割
27個すべて同じサイズに分割する方法しか知らないが
(それ以外のサイズの組み合わせに分割できないかな?)
その場合は中央の立方体がすべて切断面なので5回ではできない、
という話はそこそこ有名。

…多分サイズが違う分割が見つかっても余計手間がかかるだけのような。

50 :相乗り:01/12/05 17:49
>48
なぜ 2X3 なんですか? もう少し具体的に教えていただけませんか?

51 :132人目の素数さん:01/12/05 18:50
正直、良スレだな。

52 :132人目の素数さん:01/12/05 18:50
芸デ板の人達は、大根削って確認してるみたいだよ。
なんつーか・・・クリエイティブ・・?
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=art&key=1007305997

53 :にゃ=ん?:01/12/05 19:25
>>52 スゲェ・・・。

54 :相乗り:01/12/05 22:32
48>49>
すみません。2x3、単純に考えたら当たり前ですね。
なんてお馬鹿なんでしょう、わたし。(^^;
真中の立方体の事も考え合わせれば同じサイズならおのずと答えは解りますね。
残るはサイズが違う場合だなぁ。でも最低回数では出来そうもないような気が...。

55 :132人目の素数さん:01/12/05 22:56
他にもあらゆる方向から切断するとすれば,
有限回の切断で球になりますか?

56 :132人目の素数さん:01/12/05 23:03
>>55
有限回じゃ無理っしょ

57 :132人目の素数さん:01/12/06 00:08
やっぱ無理?
6方向くらいで球にならない?

58 :132人目の素数さん:01/12/06 01:06
正直良スレだな。

59 :132人目の素数さん:01/12/06 12:05
あげ

60 :132人目の素数さん:01/12/06 12:31
何回切ったって有限回だと
ガウス曲率0の曲面の継ぎ合わせに変わりはない。

61 :132人目の素数さん:01/12/06 12:40
非常に細かい折れ面とかの場合
「平均的ガウス曲率」みたいなの
定義できるんじゃないかな。
それが漸近的に定数になっていく・・・とか

62 : :01/12/07 08:27
消しゴム1個無駄にてしまった。
5回以内で出来るのか?

63 :あっ:01/12/07 08:30
>>47-48
のことね。

64 :132人目の素数さん:01/12/07 10:54
正直、良スレだな。

65 :132人目の素数さん:01/12/07 10:59
この粘着スレがかよっ!
いちいちageんなハゲ!

66 :132人目の素数さん:01/12/07 12:22
>62
できねーつうの。
どうしてもやりたいなら、真ん中の小さい立方体の6面のうち、2面を同時に切る方法を考えな。

67 : :01/12/07 20:06
>>47
そのサイト教えて

68 :132人目の素数さん:01/12/08 00:12
おい。こっちはもうちょい進歩してるぞ。

http://cheese.2ch.net/test/read.cgi/art/1007305997/l50

69 :132人目の素数さん:01/12/08 00:18
>>68
お絵書き=進歩か?

70 :132人目の素数さん:01/12/08 11:21
進歩だよ
http://mizuki.sakura.ne.jp/~nagch/upb/file/1007729692.jpg

71 :132人目の素数さん:01/12/08 12:41
Shadeってなに?ぐらふぃっくそふと?

72 :サ骨 ◆/IQ5000w :01/12/08 13:01
>>71
いわゆる「3DCG」というやつを描くソフトです。
下が>>42を作ったときの画面。
http://sakots.pekori.jp/imgboard/imgs/img20011208125547.png
これをいろいろやってああなった。

73 :132人目の素数さん:01/12/08 21:18
正直、良スレだな。

74 :132人目の素数さん:01/12/12 00:49
あげ

75 :132人目の素数さん:01/12/20 15:04
うp

76 :132人目の素数さん:01/12/20 15:42
IDカコイイネ>>72

77 :132人目の素数さん:01/12/20 15:43
ID?

78 :132人目の素数さん:01/12/20 15:53
教えてください。

一辺6センチの正方形ABCDがあり、
ABの中点とADの中点をそれぞれp,qとする。
で、ABDを一点に集めるようにMN,MC,NCを折り目にして
立体を作る(三角錐ができますよね?)
そのときの体積の求め方を教えてください。

この解き方を教えてください。自分厨房なので
高校で習うような関数つかっての解説はなしでお願いします。
中学生範囲の解き方で教えてくれるとうれしいです。

79 :132人目の素数さん:01/12/20 16:05
>>78
△MNC以外の面を底面と見れば高さは自明

80 :John:01/12/20 17:24
>>78
△AMNを底面と考えると分かりやすいと思います。
(勿論、△BMCや△DNCでもオッケーです。)
あとは、実際に正方形の折り紙などで作ってみると、"高さ"
に適した辺の長さが分かるので、△AMNの面積を底面積とし、
先ほどの"高さ"と一緒に○角錐の公式に当てはめれば解決です。

○角錐の公式:(底面積)×(高さ)÷3

81 :132人目の素数さん:01/12/20 17:41
なるほど、90度になるんですね。
でも、どうして90度になるとわかったんですか?

82 :132人目の素数さん:01/12/21 00:19
正直良スレだな。

83 :132人目の素数さん:02/01/20 00:20
正直、良スレだな。

84 :132人目の素数さん:02/01/20 00:28
彫刻スレ認定。

85 :132人目の素数さん:02/01/20 00:30
前から疑問なんですが

同じ大きさの正四面体を空間にびっちり積めこむのは不可能なんでしょうか?

あと、パチンコ球を平面にぎっちり積めておいてその上にまたパチンコ球を
おいて、それを何回か繰り返すと空間にパチンコ球がきっちり詰まってる状
態になるけど、仮にパチンコ球がゴム製で周りからこれをぎゅっと押さえつ
けたとしたら、球はどんな多面体に変形するのでしょうか?
高校化学の参考書の結晶のところ見ていて疑問に思いました。

86 :132人目の素数さん:02/01/20 00:36
>>85
正四面体を詰め込むことは可能。
・まず、正四面体二つを、一つの面でくっつける。そうすると平行六面体ができる。
・それを平面的に並べると、薄い板状のものができる。
・それを積めばいいだけ。

87 :86:02/01/20 00:38
私の言ったことは嘘だあ。
平行六面体にはならんです。

88 :132人目の素数さん:02/01/20 01:35
>>87
がんばれ。
ひとつの正四面体の4面に別の正四面体をくっつける。
すると元の体積5倍の正四面体ができる。
フラクタル的にこれをでかくしていけば可。

89 :132人目の素数さん:02/01/20 02:00
>>88
うそはいけない。


90 :88:02/01/20 02:09
うわ…俺のも間違い
1回でどうしようもない立体ができあがります

正四面体にはならないみたい…

91 :132人目の素数さん:02/01/20 05:56
>>85
正四面体と正八面体の二種使うなら可能。板状に敷き詰め可能だし。

92 :132人目の素数さん:02/01/20 11:37
先月号あたりの数学セミナーの、「エレガントな解答を求む」の解答に、
正四面体に関する問題の解答があった気がする。


93 :132人目の素数さん:02/01/20 12:00
>>85
各点の周りでの図形の含まれる割合を考えると
a=arccos(1/3)とすると
正四面体の頂点では(3a−π)/4π,
辺ではa/2π,面では1/2,内部では1なので
正四面体で埋め尽くせるならある正四面体の頂点の周りで考えると
((3a−π)/4π)p+(a/2π)q+(1/2)r+s=1となる
1以上の整数pと0以上の整数q,r,sがならなくてはならないけど
a/πは無理数なのでこのようにはならないので
正四面体で埋め尽くすことはできない。


94 :132人目の素数さん:02/01/21 00:01
みなさん、どうもありがとうございました。
>>93
>a=arccos(1/3)とすると
>正四面体の頂点では(3a−π)/4π

すみません。これはどうやって求めるのでしょうか?
他の正多面体に付いても計算できるのでしょうか?

>結局立方体以外で、一つの正多面体が空間を覆い尽くすのは無理なんですね。
>炭素の結晶(ダイヤモンド)も格子だけみると出来そうに錯覚するけど。
>あと、パチンコ球を平面にぎっちり積めておいてその上にまたパチンコ球を
>おいて、それを何回か繰り返すと空間にパチンコ球がきっちり詰まってる状
>態になるけど、仮にパチンコ球がゴム製で周りからこれをぎゅっと押さえつ
>けたとしたら、球はどんな多面体に変形するのでしょうか?
>高校化学の参考書の結晶のところ見ていて疑問に思いました。

これも正多面体にはならないのでしょうね。あとで自分で考えたら、3段目に球を乗せる場合
真上から見て、一段目の球と重なるように置く場合と、ずらしておく場合の2通りが可能なことが分かりました。
それで結晶構造に違いが出るようです。



95 :132人目の素数さん:02/01/21 12:00
>>94
正四面体の頂点中心半径rの球面で正四面体に含まれる部分は
球面三角形になっていて面積は(三つの角の和−π)r^2なので
(3a−π)r^2/4πr^2=(3a−π)/4π。

b=arccos(−1/√5)
c=arccos(−√5/3)
とすると
正六面体の頂点では1/8,辺では1/4,
正八面体の頂点では(π−2a)/2π,辺では(π−a)/2π,
正十二面体の頂点では(3b−π)/4π,辺ではb/2π,
正二十面体の頂点では(5c−3π)/4π,辺ではc/2π。

b/πもc/πも無理数なので一種類で
埋め尽くすことができるのは正六面体だけ。


96 :94:02/01/21 17:42
>>95
>球面三角形になっていて面積は(三つの角の和−π)r^2なので

なんとかボンネとかの定理、とか言うのでしたっけ?
分野としては、2次元曲面の幾何あたりでしょうか?証明は難しいのでしょうか?


97 : ◆pvySbQO2 :02/01/22 12:00
>>96
半径rの球Oの球面三角形ABCの角の大きさをa,b,c
A,B,CのOに対する対称点をP,Q,Rとすると

ABC+PBC=4πr^2×a/2π=2ar^2。
ABC+AQC=2br^2。
ABC+ABR=2cr^2。
PBC=AQR。
AQR+AQC+ABR+ABC=2πr^2。

 2ar^2+2br^2+2cr^2
=(ABC+PBC)+(ABC+AQC)+(ABC+ABR)
=3ABC+PBC+AQC+ABR
=2ABC+PBC+AQC+ABR+ABC
=2ABC+AQR+AQC+ABR+ABC
=2ABC+2πr^2

ABC=(a+b+c−π)r^2。


98 :96:02/01/22 22:58
>>97

素晴らしい。感動しました。

今日ずっと考えて、微積分やら色々やろうとしたけど出来なかったのです。

99 :96:02/01/22 23:03
無理に三次元の球を書いて理解するより、平面状に円を3つ、ベン図みたく重ねて書いたほうが理解しやすいですね。


100 :100:02/02/02 23:28


101 :132人目の素数さん:02/02/12 15:25
4頂点を
(1,1,-1),(-1,1,1),(1,-1,1),(-1,-1,-1)
ととって正4面体ができる。
こんなにうまくいくのは3次元だけかな?
なぜ?

102 :132人目の素数さん:02/02/26 00:54
正直、良スレだな。

103 :132人目の素数さん:02/03/18 03:32
正直、良スレだな。

104 :132人目の素数さん:02/03/28 07:59
正直、良スレだな。

105 :132人目の素数さん:02/04/08 17:14
正直、良スレだな。

106 :132人目の素数さん:02/04/23 23:59
正直、良スレだな。

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