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シット サイト トポス シャン モチーフ

1 :132人目の素数さん:01/12/06 16:53
ぐろたんの収穫と蒔いた種とに書いてありました。
何だかわからないけど凄そうです。解説おねがいします。
トポスは位相と関係ありそうなんですけど他のは何だかわかりません。

2 :132人目の素数さん:01/12/06 17:17
2 ゲットぉーーー!
 ̄ ̄ ̄ ̄ ̄∨ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄(´´
     ∧∧   )      (´⌒(´
  ⊂(゚∀゚⊂⌒`つ≡≡≡(´⌒;;;≡≡≡
        ̄ ̄  (´⌒(´⌒;;
      ズザーーーーーッ

3 :132人目の素数さん:01/12/06 18:19
解説のホームページ希望〜。(けっこうミーハー)

4 :132人目の素数さん:01/12/06 23:04
何でこれ続かないの?期待してたのにぃ〜

5 :132人目の素数さん:01/12/06 23:21
自分はageるだけで他人に盛り上げてもらおうと考えてる
奴しか来ないスレが盛り上がらんのは当たり前だとおもう

6 :132人目の素数さん:01/12/06 23:22
>>5
真なり。

7 :tea for one:01/12/07 00:39
グロタンさん以前のスキームにはザリスキー位相というものが入ってました。
しかしこれはとても弱い位相だったので、グロタンさんは被覆の概念を
一般化しました。
与えられたスキームX対して、X上の特別なスキーム達を考えます。
(ex.開部分スキーム、エタールスキーム、開部分スキーム+PD-str、etc)
さらにX上の(特別な)スキームY上に位相(被覆)を
特別な射の集まりで与えます。
(ex.open immersion U_i->Y,etale morphism U_i->Y,etc)
このときX上のスキームに対して与えられた位相をX上の*-topos
(ex.Zariski topos, etale topos, cristallin topos, etc)
X上の特別なスキーム達 */X と *-topos の組を *-site
(ex.Zariski site, etale site, cristalline site, etc)
といいます。

8 :tea for one:01/12/07 00:42
イメージとしては、今までは開集合はスキームの表面にあったのが
空中に浮いたようなものだそうです。
間違って(or わかりにくかったら)たらごめんなさい。
シット->層?
シャン->圏(導来圏)?

9 :1です:01/12/07 01:38
tea for one さんありがとうございます。
何なのかわからなかったトポス、サイトが少しわかりました。

シット(景)はSGA4に出てくると書いてあったのですが他に見つけられませんでした。
下はシャンについて書かれているところです。
・・・任意次元の非可換のコホモロジーのためのトポス上のn−圏(シャン)および∞−圏の用語を用いてなされる・・・
私は、その昔「非限定」のn−カテゴリー(今私はこれを「n−圏」と呼んでいます)という概念を用いるうえで・・・

10 :132人目の素数さん:01/12/07 02:00
トポスって、北千住にあるディスカウントショップちゃう?

11 :132人目の素数さん:01/12/07 03:19
甲府にある廃墟の名前だろ

12 :にゃ=ん?:01/12/08 11:18
>>10 ダイエー系列では?

13 :132人目の素数さん:01/12/08 17:38
トポスは、企業マネジメントの際に
重要な役割することが認識されつつ
あります。

経営者は勉強するように!

14 :132人目の素数さん:01/12/08 17:40
数学科は、経営者の養成機関!

15 :tea for one:01/12/08 18:21
このスレ終了ですか?期待してたのに...
シャンとシットはやっぱりなんのことなのかわかりません。
SGA4は3冊くらいあるのでどこに書かれているのか不明。
モチーフは...なにかボケなくてはいけないでしょうか?

16 :132人目の素数さん:01/12/08 18:50
木綿のハンカチーフの略語

17 :3:01/12/09 01:15
>解説のホームページ希望〜。

誰かいないの? かるーいカンジでいいんだけど。
誰もいなかったらボクが作っちゃうよん。もしかして。(チョット弱気)

18 :1です:01/12/09 05:56
SGAって合わせると12000ページ位だと思うんですけど多すぎます!
同じようなことが書いてある本で日本語か英語でコンパクトなのってありませんか?

「モチーフの理論の全体的な描写はまだ非常に遠いところにあります。」と書いてあるのですが
大体どんなものなんですか?グロタンさんはお気に入りっぽいです。

19 :132人目の素数さん:01/12/09 07:48
>>17
頑張ってくれ(マジ)。

20 :tea for one:01/12/09 14:10
モチーフはこんな感じじゃないでしょうか:
スキーム上にサイトが与えられたら、それらに関する層やコホモロジーを考える
ことができます。
このとき、よいコホモロジーはWeil Cohomology theoryという条件、
1)finiteness,2)Poincare duality,3)Kunneth formula,4)cycle map,
5)Lefschetz theorem,
を満たします。例えば、
代数閉体上のl進etaleコホモロジー、
複素数体上のBettiコホモロジー、
標数pの体上のcristallineコホモロジー、
標数0の体上のde Rhamコホモロジー
など。
ここで、l進etaleコホモロジーに対するWeil cohomology theoryはなんと
ゼータ関数の性質(有理性、関数等式、Riemann hyp.、etc)
に関係してたりします。

21 :tea for one:01/12/09 14:25
上に書いたコホモロジー達はお互いに密接な関係がある
(テンソルとると一致するとか)ので、グロタンさんは、実は裏に"なにか"があって
それぞれのコホモロジーはその"なにか"を実現して姿を現したものなのではないかと思ったようです。
その"なにか"をモチーフと名付けました。
SGAの代わりに読むものとしては、
モチーフを簡単に知るには、
数論の歩み(別冊・数理科学)、
数理研考究録のいつかのだれか(斎藤秀司先生?)のモチーフについて、
etaleコホモロジーについては、
Milne Etale cohomology (princeton)
cristallineコホモロジーは
Berthelot Cohomologie cristalline des... (LNM 407)
全部知りたいときは
Proc. symp. in pure math. vol55.1
がよいのではないでしょうか。
>>17 さん
頑張ってください

22 :1です:01/12/10 10:27
tea for one さんありがとう。概観がつかめた気がします。
本も図書館で発見したので挑戦してみます。
学校に専門の先生いないし周りにも詳しい人いないので
tea for one さんに話聞けてほんとによかった。

23 :1です:01/12/10 11:14
訂正
n−圏(シャン) → n−園(シャン)
12000ページ → 多分その半分くらい
http://modular.fas.harvard.edu/sga/sga/

24 :tea for one:01/12/11 11:38
toposの定義間違ってました。
正しくは、site上の層の圏です。
>>23
そのページすごいですね...

25 :ちょっと聞きたい:01/12/12 00:32
voevodsky他 のprinceton lecture noteを読んだ方がいらしたら、
感想を聞かせて下さい。

26 :132人目の素数さん:01/12/12 00:44
champは英語ではstack.
今度の「数学の楽しみ」で森脇さんが代数的スタックの解説を書いてる.
ぐろたんでぃえく本の訳語は全然通用していないのでちういせよ.

27 :132人目の素数さん:01/12/26 13:01
フランス語読めない…

28 :132人目の素数さん:02/01/05 21:34
解説期待あげ。

29 :132人目の素数さん:02/01/11 01:11
cristalline cohomology については
Ogus の本の方が読みやすかったような. 英語だし.

30 :132人目の素数さん:02/01/12 02:46
Ogusの本って
Ogus,BerthelotのNotes on Crystalline Cohomology
ですか?確かにこっちのほうが読みやすいですね。
でもうちの数学図書室には置いてない...

31 :132人目の素数さん:02/01/22 18:08
モチーフって
数学的に定義された概念なんですか?

32 :aho:02/01/22 18:43
>>31 いや,違う.Grothendieckが「実はこうなんじゃなかろうか?」と期待するところの一つの"哲学".

33 :132人目の素数さん:02/01/22 21:48
>>32
モチーフは数学的に定義されてるんじゃない?
混合モチーフはまだみたいだけど

34 :132人目の素数さん:02/01/23 15:22
数学的に定義されているとすると,どこに
書いてある?
それと,どうして下げるの

35 :132人目の素数さん:02/01/23 18:58
33じゃないけど自分はsageカキコ率95%越えてる板に
普段いるから、ついsageで書き込んじゃう。
(荒らし・マルチポストは除くよ)

36 :132人目の素数さん:02/01/23 21:37
>>34 特に下げる理由もなかったのでこれからは普通に書きこみますね。
モチーフについて書いてあるのは>>21 にでてる文献をみるとよいと思います。



37 ::02/01/26 07:47
>>21 :tea for one :01/12/09 14:25
>SGAの代わりに読むものとしては、

SGA http://modular.fas.harvard.edu/sga/sga/
もう、たぶんこれは・・・2chのミンナには常識なんだろうなぁ・・・。

>モチーフを簡単に知るには、
>数論の歩み(別冊・数理科学)、

>数理研考究録のいつかのだれか(斎藤秀司先生?)のモチーフについて、

×数理研考究録 ブー。
○数理科学No374,1994.8『特集・数論の不思議な世界』pp.56-61
          「斎藤秀司 モチーフ――グロタンディックの見果てぬ夢」所収

>etaleコホモロジーについては、
>Milne Etale cohomology (princeton)
cf.
Lectures on Etale Cohomology(J.S.Milne)
http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/math732.html

38 ::02/01/26 08:05
cf.斎藤先生の近著
共立講座21世紀の数学 / 木村俊房[ほか]編集
出版者等   :東京 : 共立出版 , 1997.5
形態事項   :236p ; 22cm
内容著作注記 :整数論 / 斎藤秀司著

cf.数理科学No374,1994.8『特集・数論の不思議な世界』pp.56-61 抜粋
近年の数学の発展は目ざましい。15年前私が修士学生の頃はエタールコホモロジーと
いえばまだ最先端の高度な理論ですくなくとも半年はかけて勉強したもので
ある。それが今自分が修士の学生を指導する立場になって‘エタールコホモロジーぐ
らいは春休みにでも自分で勉強しておいてくださいね’などと無責任なこと
をいっていられる時代になった(?)。更に15年後には‘来週までにはp進
Hodge理論を自分で勉強しておいて下さいね’といっているだろうか?しか
しいかに数学の様々な理論が高度になったとしても‘数学する者’を駆り立
て魅了する根源は不変ではないだろうか?例えば‘数を数える’これは人類
の知的行為の中でも最も原初的なもので心理的にも潜在意識のかなり深い層
に関わっているものである。あの有名なWeil予想はまさに人類意識の深奥よ
り生まれ落ち、Grothendieckそしてその後に続く多くの数学者に多大なる影
響を与え現代数学を今の形に変貌させてきたのである.この予想は有限体係
数の方程式系の解の個数(あるいは有限体上の多様体の有理点の個数)を数
えることにより定義されるWeilの合同ゼータ関数と呼ばれる有理数係数の形
式的冪級数に関するものである.Grothendieckがこの予想に魅せられあのエ
タールコホモロジー理論を構築した逸話は多くの読者の知るところであろう....

39 :132人目の素数さん:02/01/26 11:28
>>37
数理科学No374,1994.8『特集・数論の不思議な世界』pp.56-61
=数論の歩みのやつ
ですよね?それではなくて数理研考究録です。
今家から出てきたので確認したらやはり斎藤秀司先生でした。
混合ではないほうのモチーフについては、
こっちのほうをみたほうがいいのではないかと思います。

40 :COUNT:02/01/27 01:09
そういや今週 加藤和也さんの「p進Hodge理論」の解説聞いたっす.
 「Faltings の証明は怪しい(らしい)からFontaineさんあたりの
別証明がでてほしい」とか おもしかったのお・・

41 :132人目の素数さん:02/01/27 13:45
>>40 COUNTさん、その解説内容,もちっと詳細kibonne〜♪・・・ダメ(^^;;)?

42 :132人目の素数さん:02/01/29 18:23
ききたいききたいききたい

43 :COUNT:02/01/29 23:34
えとですねー 「代数多様体の4つのコホモロジー理論」から始めます.
C上のBetti コホモロジー,de Rham コホモロジー(有限体上でもおっけえ),
有限体上の エタールコホモロジー(C上でもおっけえ),
クリスタルコホモロジーの間の関係について述べる話なんですが これらの
理論の関係について述べるのがp進ホッジ理論の 加藤氏による講義でありました.
(とりあえず 予告編ちゅうことで 反響があったら次回書きます(藁))

44 :COUNT様,神〜:02/01/30 07:47
>>43 どうも,ありがとうございます。
要するにそれって,モチーフのことですよねー。
コホモロジーってのは,betti,deRham,etale,cristalの4つだけでしたっけ。
i進アアベル・遠アアベルとかも関係してくるんですかねー。

・・・ま,いっか・・・。続編おおいに期待!!

45 :COUNT:02/01/30 14:23
>>44 そそ!代数多様体(スキーム)上のすべての情報(コホモロジー,
基本群,etc)を統制しているものがモチーフです.ちなみに代数曲線
のモチーフに関しては Y.I.Manin の結果が重要と思われます.

さてp進ホッジ理論の続きいきます
グロタンディークによる6つの予想(これらを含む壮大な予想がスタンダード
予想)を紹介していきます.

1)K:完備離散付値体(Q_pと思うべし),k:Kの剰余体
V/K:proper, smooth なスキーム
ただしchar K = 0 , char k = p > 0 とする.Kを含む環 B_cris とその
拡大体 B_dR が存在して 体 B_dr に係数拡大すると
p進エタール・コホモロジー=de Rham コホモロジー
が成立し, Gal(\bar{K}/K) の作用を保つ.

46 :COUNT:02/02/01 02:33
レスない・・・・

47 :132人目の素数さん:02/02/01 19:41
>>45
Y.I.Manin の結果
て何?

48 :132人目の素数さん:02/02/02 01:12
まぁCOUNT氏よ、見てる人はいるからマターリ続けてくれや

49 :おしえてください:02/02/02 01:53
数論幾何をやるならどこの大学がいいのか教えてください。
東大か京大のどちらかがいいんでしょうか?
あと数論幾何を専攻した方は学部のときにどんな本を読んだのか教えてください。
数学セミナーを読むとヴェイユのBasic Number theoryとかハーツホーンを
読んだと書かれているのですがこれらは学部のときに読み終えないときついですか?


50 :132人目の素数さん:02/02/02 03:52
ま、読めるもんなら読んで欲しい。

51 :うひゃひゃ:02/02/02 03:58
どっちでもいいべや 整数論とトポロジーと数論とp進解析と標数0の代数幾何
微分幾何は必須 んでハーツホーンかマンフォード読んでEGA 読んで
SGA 読めば準備おっけー あとは Silvermanの編集の「Arithmetic geometry」
買ってアステリスクの それ関係(p adic period )とか読めばいんでない?

52 :49:02/02/02 08:06
>>50>>51ありがとうございます。
準備おっけーまでが学部の範囲ということですか?
極められるよう努力してみます...

53 :132人目の素数さん:02/02/02 12:17
>>52さんへ
>>51が言ってる準備おっけーというレベルを
学部の範囲で極めたら、おそらく天才の領域に入ります。
というか、2ちゃんに来てるような方には無理です。

54 :132人目の素数さん:02/02/02 12:59
>>52
>準備おっけー
プロとして?

55 :おしえてください:02/02/04 17:46
49,52です。
本を見てみないことには出来るかどうかわからないので
図書館で探したんですがEGA,SGAが見つかりません。
出版社、著者、本の正式名を教えてください。
買ういくらぐらいですか。

56 :132人目の素数さん:02/02/04 17:59
>>55
いいなあ,こういう奴って!

57 :132人目の素数さん:02/02/04 20:02
>>55 SGAはこれ↓
http://modular.fas.harvard.edu/sga/sga/


58 :COUNT:02/02/07 01:35
>>47 Correspondences,motives and monoidal transformations
Math. sborn. 77 に曲線のモチーフについての詳細が書いてあるなり.

59 :132人目の素数さん :02/02/07 01:39
>>57 SGAのサイトけっこう有名になってるけど 実際読んでるやつ
いねーだろ DLしたところでプリントアウトきちゃないはずだしな・
・・てかDLする気にならん藁

60 :132人目の素数さん:02/02/07 13:36
ポストスクリプト版をDLして、ビューワー(GSview)使って
ときどき眺めてますが、なにか?

61 :COUNT:02/02/14 00:43
なんかこことまっちまいましたね...さむすい...

62 :132人目の素数さん:02/02/15 17:32
ageてみたり

63 :132人目の素数さん:02/02/22 00:27
>>60
PostScript 版てどこにあるの?


64 :132人目の素数さん:02/03/04 23:47
sgaを1から読みませんか?
今まで何度か出てますが、
sgaは
http://modular.fas.harvard.edu/sga/sga/
ps版
http://modular.fas.harvard.edu/sga/sga/ps/index.html

65 :132人目の素数さん:02/03/05 00:15
大事な大事なSGA5だけないんだ。Springerの版権の関係か?

66 :132人目の素数さん:02/03/05 00:27
1から読んでけばおそらく5に到達する前に終了してしまうので
問題ないのではないかと。
万が一5まできたら図書館で借りよう。

67 :132人目の素数さん:02/03/05 00:38
あれは最初から読む種類の本なのか?
必要なところだけつまみ食いする本だと思ってたYo

68 :132人目の素数さん:02/03/18 13:07
Towards a free electronic TeX version of SGA
http://www.maths.univ-rennes1.fr/~edix/sgahtml/index.html

SGA1 version -1
http://www.maths.univ-rennes1.fr/~edix/sgahtml/master.pdf
とか

69 :132人目の素数さん:02/03/19 22:33
モチーフと遠アーベル幾何ってどういう関係ですか。

70 :132人目の素数さん:02/03/22 00:45
>>69
それって
線形代数と代数幾何がどのような関係にありますか
っていっているのと似たようなもんだからあまりにも漠然としていると思われ

71 :132人目の素数さん:02/03/23 10:21
それはちょっと例えがちがうと思うんですが・・・。

72 :70:02/03/27 00:45
>>71
うーん俺はコホモロジーって幾何的対象を線形代数で処理するための道具
って面があると思うんでそういう風にかいたんだが
どう言えば良いのかね−

モチーフを使って遠アーベル幾何についてなにが分かりそうですか
とかならもうちょっとはっきりしていると思うが

73 :71:02/04/05 00:21
それでは、もう少し質問を具体的にしてみます。
モチヴィックガロア群と遠アーベル幾何での
高次元多様体に生じるガロア群はほとんど同じ
ものと考えてもよいのでしょうか。
解説よろしくお願いします。

74 :132人目の素数さん:02/04/08 18:18
73よ。あなたのレスを見てる人は殆どいない。
ageて少しでも多くの人に助言を求めるんだ。

75 :初学者:02/04/09 14:21
いえその助言どころか罵倒を受けるのではないかと・・・
それでは試しにちょっとageてみます。
モチヴィックガロア群と遠アーベル幾何における
高次元多様体に生じるガロア群との関係を
どなたか解説お願いします。マジレス希望です。

76 :132人目の素数さん:02/04/14 02:42
このへんの話はうろ覚えですので自分で確認願います
あたりまえだけど 2ちゃんで聞くより先生とかに聞いたり文献を調べた方が正確です

>> 遠アーベル幾何における高次元多様体に生じるガロア群
これは代数多様体の数論的基本群の事でしょうか

Q 上の射影代数多様体上では motivic galois group は
数論的基本群の情報を持っていると期待されるはずですが
これって遠アーベル幾何にかぎらないはずです

遠アーベル幾何ではその数論的基本群によっていろいろな構造が
決定されると言う予想が基本的だったはずで (Galois 群を調べれば
拡大体についていろいろな事が決定できることのある意味での拡張)
motivic な観点から言えば Hodge(というか無限素点) な方面から
攻めたらなにか違った事が分かるかも知れないですけど



77 :76:02/04/15 22:55
ふと思ったんですが遠アーベル幾何を使って motivic galois を構成してみる
試みと言う話なんでしょうか?


78 :132人目の素数さん:02/04/26 00:31
>>76>>77
遅くなりました。解説をありがとうございます。
そうです、その数論的(代数的)基本群のことです。
遠アーベル幾何を使ってmotivic galois groupsを
構成することは考えていませんでした。
といいますか、自分にはどうもmotivesやmotivic
galois groupaというのがわかりにくいですので、
数論的基本群との関係から理解できればと思ったんです。
しかし、非常に参考になりました。お世話さまでした。



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