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πのπ乗は無理数か有理数か

1 :theo-テオ-:02/04/15 18:21
教えてください。
証明つきで。
確か、まだどっちか分かってない未解決問題だったはず。

2 :132人目の素数さん:02/04/15 18:37
-----------ここまで読めば十分------------

3 :2:02/04/15 18:39
ずざー

4 :132人目の素数さん:02/04/15 18:40
おせえんだよぷぷ

5 :132人目の素数さん:02/04/15 18:46
未解決問題を、証明つきで教えろ、と??

6 :theo-テオ-:02/04/15 18:48
yes, sir

7 :132人目の素数さん:02/04/15 19:17
このスレが歴史に残る可能性がある、ということかね。

しかし、未解決問題の解決を論文にせずにネット上で発表する人って、
どこかできいたことがあるような…。

8 :132人目の素数さん:02/04/15 19:18
無理数の無理数乗が有理数になる例を上げよ > 1

9 :132人目の素数さん:02/04/15 19:21
2 げと

10 :ひろゆき:02/04/15 19:30
>>8
それは存在するんだよ

11 :age:02/04/15 21:40
age

12 :132人目の素数さん:02/04/15 22:17
パイとパイでオッパイ アヒャ

13 :132人目の素数さん:02/04/15 22:47
eのe乗は?
iのi乗は?

14 :132人目の素数さん:02/04/15 23:11
>>1
とりあえず、オレは無理数に4000ラマヌジャン賭とくよ

15 :132人目の素数さん:02/04/16 01:33
>>13

iのi乗は無理数

16 :132人目の素数さん:02/04/16 01:40
πとπでおっぱい。
おっぱい。ここんところ触ってないなー。
遠距離恋愛悲しいよ。

17 :132人目の素数さん:02/04/16 02:16
3の3乗ですから27です。有理数ですね。

18 :132人目の素数さん:02/04/16 02:35
1じゃないけど
>>8
√2^log_2(100)=10


19 :132人目の素数さん:02/04/16 03:05
>>17ゆとり教育万歳!(w

20 : :02/04/16 08:50
円周率

21 :132人目の素数さん:02/04/16 09:20
確率的には超越数だろう

22 :132人目の素数さん:02/04/16 09:24
>>16
近距離不定期恋愛と恋愛幸福曲線を時間軸にそて積分し比較して耐えろ!

23 :132人目の素数さん:02/04/16 12:44
π^π≒36.462159607207911770990826022692

24 :名無し@無職:02/04/16 13:11
荒らしっぽいけど……
lim n(i) → π (i → ∞) となる数列 n(i) でなんか都合のいいものを探す。
そして
n'(i) = n(i)^n(i)
としたときの n'(i) の極限で定義する(あるいは計算する)。  外出 スマソ…

25 :132人目の素数さん:02/04/16 14:48
それでは、有理数か無理数か判別できないと思われ

26 :132人目の素数さん:02/04/16 16:25
π   2 2 4 4 6 6 8 8
― = ―X―X―X―X―X―X―X―………
2   1 3 3 5 5 7 7 9

 これ使ってみろ。

27 :132人目の素数さん:02/04/16 18:09
>>26 新種の数学記号発見

28 :132人目の素数さん:02/04/16 19:59
(√2^√2)^√2=√2^(√2×√2)=2

29 :age:02/04/17 00:19
この問題、真剣に議論しないで下さい。
所詮極意ですから。

30 :132人目の素数さん:02/04/17 01:02
>>8
無理数の無理数乗で有理数を作る。予備知識:「√2が無理数であること」

その1
(√2)^x = 3 となるxを考える。xを有理数と仮定すると
(2の整数べき) = (3の整数べき)
が成立して、素因数分解の一意性に矛盾。
よって、xは無理数。終わり。

その2
(√2)^(√2)を考える。もしコイツが有理数なら、おしまい。
有理数じゃないなら、コイツの(√2)乗を考える。指数法則から、2になることがわかるので、
無理数を無理数乗して有理数になるものを作れた。おしまい。

31 :132人目の素数さん:02/04/17 01:20
>>28  ってことは、両辺のlog をとると、
 log(√2^√2) * √2 = log 2
 log(√2^√2) = (1/√2)log 2

 ∴ √2^√2 = exp((1/√2)log 2) = 2 * e^(√2/2)

 でよろしい?

32 :132人目の素数さん:02/04/17 01:29
exp((1/√2)log 2) = 2 * e^(√2/2) はよろしくない

33 :132人目の素数さん:02/04/17 01:41
π^π=
36.462159607207911770990826022692123666365508402228818738709335922934074368881
699904620079875706774854368146883436700705427366991393592644315656752671802309
177775957372422605303200502335495951613825945718854222223054024331997797691673
028764447800284521173942960181752491593500194920016194232101104800185572587188
607828198392153045034535432384762182576648615956090572803143419583904008119915
066360662958179003022927474222042100464037094932854411018847977074663585107103
628038911811566180832608845365052553110959480295529091333613858234971207618611
576065744362052958956577364689598371264048852073488339176021695360021749580357
206705093187706330864349355932024251894960088805550482133887927693040156397454
808983808666394283377942502845221137418786027932518483666236022146521514532760
985450385404820416455169190820972102653794237658173546004729539938404878421163
661533650570930669262237759150232047276726099587372785666335932106896988075086
023535522674903216707309293732404516519807501579597086894834690675023132040536
071642736567530664666151738336507542363014639764049055387142350268256045318430
979976159489298873654970519828631618356265522447692716802168567785671412533546
287783016944619808563916936761791551598461…

34 :132人目の素数さん:02/04/17 01:56
スマソ。x^a * x^b = x^(a*b) と思ってしまっていました。

ということは、  exp((1/√2)log 2)^√2 = 2  でよろしい?
(てか、これ自明じゃん。写氏。お騒がせしました)

35 :age:02/04/17 13:31
Q2.
e^(x^3)を積分せよ。

Q3.
x^xを積分せよ。

頭の体操にどうぞ

36 :132人目の素数さん:02/04/18 00:21
ここでも例のマルチポストを35に発見

37 : :02/04/18 02:54
>>8
(無理数e)の (無理数log2)乗は2であるから有理数になる。

38 :132人目の素数さん:02/04/18 03:13
無理数乗というのが想像できない俺は逝ってよし?

39 :132人目の素数さん:02/04/18 05:49
>>38
そう悲観することもないかと。
無理数乗って元々のn乗の定義(n回掛け算)からは
完全に離れちゃってるし。
aが正の実数、xが実数(つまり無理数含む)の時y=xlog(a)として
a^x=e^y=1+y+y^2/2!+y^3/3!+....
だったかな。


40 :age:02/04/18 10:56
x,yともに無理数でもx^yが有理数になるものが存在することの証明。
p=√2^√2とする。

A:pが有理数の場合。
前提より有理数になるものは存在する。

B:pが無理数の場合。
p^√2=(√2)^(√2*√2)=(√2)^2=2
pは無理数、√2も無理数であるから
有理数になるものが存在していることがわかる。

A,Bより、a,bともに無理数でもa^bが有理数になるものは存在する。■

41 :age:02/04/18 10:57
>>40
はい、間違いね。
x,yともに無理数でもx^yが有理数になるものは存在する。
でした。

42 :132人目の素数さん:02/04/18 17:08
>>40
簡単な例があるのに
何でこんな大掛かりな例を作るの?

43 :まおまお:02/04/18 18:41
いや、>>40は元々、
「排中律のトリッキーな使用法」
の、有名な例だよ。
目的の無理数を、具体的に求めないところがミソらしい・・・。

44 :132人目の素数さん:02/04/18 22:29
でも、p=√2^√2 が具体的すぎていまいちかな

45 :132人目の素数さん:02/04/19 00:18
>>40
それ、30でガイシュツなんだけど・・・

46 :パパ:02/04/19 10:50
πのπ乗=36.4621...
これが有理数だと仮定し、矛盾を導く。
有理数(=有/理)なら、これを自然数で割った数(=有/自理)も有理アルバチャコフである。
そこで例えば、
夢 = (πのπ乗)/30 =1.2...
とおくと、夢はアルバチャコフで、互素自然数p,q(1 < p < q))により、
夢 = q/p
と表される。

47 :パパ:02/04/19 10:51
0 < x < 夢の時、0 < 夢-x< 夢も成り立つから、この区間(0,夢)に於けるxと自然数nに対し、
0 < x(夢-x) < 夢^2 両辺をn乗して、
0 < (x(夢-x))^n < 夢^(2n) 両辺にp^n/n!を乗ジア、
0 < (px(夢-x))^n/n! < (p夢^2)^n/n!
よーし、パパ、この中辺をf(x)とおくぞー。更に続けて0 < x < 夢( < 1.3 < 半π)の時0 < sinx < 1なので、乗ジア、
0 < f(x)sinx < (p夢^2)^n/n! 両辺を0からπまで積分しますて、
0 < インテグラル(0からπ)(f(x)sinx)dx < π(p夢^2)^n/n! ---(1)
よーし、パパ、この中辺を「インテグラタイプ0」とおくぞー
(このタイプ数はf(x)が何階導関数になるかを意味する。
例えば、インテグラル(0からπ)(f ''(x)sinx)dx は、インテグラタイプ2)。

48 :パパ:02/04/19 10:51
(1)の右辺について、一般に正数aについて、a^n/n! --->0 (n->寿限無)なので、どでかいnに対し、
(p夢^2)^n/n! < 1/π
が成り立つので、そんな馬並みにでかいn(パパ負けたぞー)に対し、(1)の右辺 < 1。つまり、
0 < インテグラタイプ0 < 1 ---(2)

49 :パパ:02/04/19 10:52
さてさて、f(x)について、2項定理で展開すると、
f(x) = Σ(kが0からn) { 1/n! (-1)^k 組(n, k) 夢^(n-k) p^n x^(n+k) }
(組(n, k)は順列組み合わせのコンビネーションn, k)
f(x)はn次以上の項しか持たない2n次式なので、
f(0) = f'(0) = f''(0) = ... =f(n-1階)(0) = 0
また、n階以上2n階迄のn+k導関数0値は (0≦k≦n)
(n+k)!/n! (-1)^k 組(n, k) p^n 夢^(n-k) ---(3)
ここで、p^n 夢^(n-k) = p^n (q/p)^(n-k) = p^k q^(n-k)なので、(3)は整数。
つまり、0≦k≦2nに対してf(k階)(0)は整数。 ---(4)


50 :パパ:02/04/19 10:52
次に、f(x)のx=π/2に関する対称性から
f(k階)(π) = (-1)^kf(k階)(0) ---(5)
はすぐ分かる。以下でこれらを参考にしよう。

話を戻して、部分積分いい気分プと(5)を繰り返し利用して、
インテグラタイプ0 = f(π) + f(0) - インテグラタイプ2
= 2f(0) - 2f''(0) + ... + 2(-1)^n f(2n階)(0)
= 2Σ(kが0からn){ (-1)^k f(2k階)(0) }
ここで(4)よりインテグラタイプ0は整数。
ありゃー(2)と矛盾だ。
q.e.d

51 :パパ:02/04/19 10:54
合ってるかな?
頭が弱いパパは、
夢がほんとに有理数だった場合も矛盾しないか
なんてことが気になってるんだ。
考えてみておくれ。

52 :132人目の素数さん:02/04/19 11:10
またやってんのかよ

53 :132人目の素数さん:02/04/19 11:29
27だろ。

54 :132人目の素数さん:02/05/02 12:16
なにこれ?


55 :132人目の素数さん:02/05/03 11:21
なんだろ?

56 :132人目の素数さん:02/05/04 23:46
>>46->>50(パパ)
文字の置き方が怪しいけど、何気に解けてるね。


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