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εーδ論法

1 :ななし:2001/08/07(火) 21:38
 これってなに? なんかの宗教?

2 :132人目の素数さん:2001/08/07(火) 21:40
            o
            /  ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ /
           /   このスレは無事に  /
           /  終了いたしました    /
          / ありがとうございました  /
          /                /
         /    モナーより      /
         / ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄/
  ∧_∧  /                /∧_∧
 ( ^∀^) /                /(^∀^ )
 (    )つ               ⊂(    )
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 (__)_)                  (_(__)

3 :132人目の素数さん:2001/08/07(火) 21:41
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4 :1:2001/08/08(水) 16:47
人がわざわざスレッド立ててやったのに
なんなんだ?お前らのその態度は?

5 :132人目の素数さん:2001/08/08(水) 16:52
>>4
数学にはルールってものが存在する。
これを認め合うからこそ、数学という学問は成立する。

ルールを守れない人間は数学からも、そしてこの板からも排除される。(例:今井)
その事をもう少し理解してからスレを立てるようにお願いしたい。

6 :1=4さんゑ:2001/08/08(水) 17:08
 まともな理論に対してタテツく場合は、↑のような非難を受けるのが
当然の仕打ちだということをよーく考えてね。

7 :>1:2001/08/09(木) 03:54
あほぼけかすしね

8 :132人目の素数さん:2001/08/10(金) 00:45
>>7
なんかワラタ

9 :132人目の素数さん:2001/08/24(金) 20:48
1は部落民

10 : :2001/08/24(金) 21:22
1=2を証明します

やってみて

11 :132人目の素数さん:2001/08/25(土) 10:52
εーδ論法は宗教ではありません。つまり自明な命題なわけです。
で、レスが2分後についているということは、明らかに自作自演であるわけです。
よって、1=2が結論付けられます。

証明終わり。

12 :132人目の素数さん:2001/08/25(土) 15:27
ついでに、IPもいっしょなら、ほぼ間違い無し。

13 :132人目の素数さん:2001/08/25(土) 17:15
しょーもない質問かもしれないけど、εーδ論法って、だれが
考えたの?

14 :132人目の素数さん:2001/08/25(土) 17:24
初めに思いついた人と、最古の文献書いた人と、εδを登場させた人は、
全部別人なんでしょ、きっと。知ってたけど発表してなかったって輩よく聞くしさ。

15 :132人目の素数さん:2001/08/25(土) 17:30
ボルツァノとかコーシーが先駆者ではあったようだけど、
とりあえず、ワイエルシュトラスが完成させたんではない?

16 :132人目の素数さん:2001/08/25(土) 17:56
εーδ論法 って


ペテンだろ?
ただの

17 :132人目の素数さん:2001/08/25(土) 22:49
>9
>1は部落民

お前、何書いても許されるって訳じゃないんだよ

18 :1だが、:01/08/26 16:54
私は、2ではない。 このスレに書くのは、これで2度めだよ。
よって、2,4 は私ではないよ。

19 :sage:01/08/26 21:41 ID:2qVncIKY
まさか、∀ε∃δとかいう論法について
議論してるあるいはしたいの?

20 :132人目の素数さん:01/08/26 23:49 ID:sexwTsD6
大学1年時にちゃんと理解するには無理があるね。

まあ、なんとなくでいいじゃないの?特に工学系の人は。
理学の人は数学科志望以外の人、頑張って理解してみたけど
やっぱ掴めなくても大丈夫だよ。

数学科志望の人も、2年くらで位相空間とかなんとかを勉強
するだろうから、その時に理解出来るから焦らなくてもよろし。

21 :132人目の素数さん:01/08/27 00:43 ID:LGV.vt8o
あれが、そんなに難しいのか?

22 :132人目の素数さん:01/08/27 00:53 ID:hmxmx0Vk
>>21
難しいというか、直感のみで勉強してきた人にとっては
何これ?これがどうかしたの?って感じじゃないかな。

だから理解するというか、自分のものにしづらいと思う。

23 :132人目の素数さん:01/08/27 02:54 ID:EIgxw3fQ
あ     あ

24 :132人目の素数さん:01/08/27 02:54 ID:nxnnQv7o
>>20
そして、また1年からやり直すの?

25 :132人目の素数さん:01/08/27 10:01 ID:v4DggcXU
>>24
別に全部やり直すわけでもねぇべ。
連続性とか収束の議論をしてるとこだけやり直すだけだべ。
工学とか物理とか化学とかの学生は、それで十分だべ。

26 :132人目の素数さん:01/08/27 17:31 ID:2yK4./zI
うちの大学って1年から位相空間論やるよ。
2年になってからじゃ遅いかも。

27 :   :01/08/27 20:56 ID:msfW6..Y
連続であることの、定義もしくは公理です。

28 :132人目の素数さん:01/08/27 21:00 ID:EG4ish0Q
>>26
早っ!

29 :1:01/08/27 21:13 ID:ZwCwe8iI
>>27
なるほど。 まあ、言いかえれば、数学という、ある種の宗教
の中で使われてる概念の定義の方法なわけですね?
 ってことは、俺の考え方も、あながち外れでは無かったわけだ。

30 :132人目の素数さん:01/08/28 01:14 ID:/0q5qgT2
>>27
公理ではないと思われ

31 :トシ@矢田亜希子&水野美紀:01/08/28 02:46 ID:NGW3JkGU
>20
やっぱり〜〜。よかった、よかった。
大学に入って、6月ごろにε−δ法習ったけど、何の意味あるか分からないし・・・。

コレとは関係ないけど、分かりきったことをいちいち証明するな、って感じかな。
数学専攻してるやつの気がしれん。

32 :132人目の素数さん:01/09/22 04:24
いまさらこのスレを上げて大変恐縮なんだが、マジに訊きたいので誰か教えて欲しい。

オレはε−δ法習うなら早いうち(1年生)だとは思う。数学を捉えるためにイロハのイという考え方だと思うから。
ただ、数学科ではないのでいまだに判らんのだが、(うまく言えない)ε−δ法の教科書に出ている問題(証明したい命題)以外で、
ε−δ法がどうしても必要になったり、ε−δ法を使わない証明がε−δ法を使うとくつがえったりする例ってあるのかな?
もちろん証明を記述するコメントの中にε−δ法が出てこなくても、それを暗黙のうちにふまえているのだろう。

しかし、いつも「暗黙」の中にしかε−δ法は居ないように思えるんだが・・・。
そうじゃない例ってありますか?

33 :yanyan:01/09/22 04:50
数学では「任意」「存在」「否定」「ならば」
という言葉でつまずく人が多い。ε-δ論法は
「任意のε」に対し「δが存在」が重要。

極限の概念をうまく表現するには、ε-δ論法が
最も自然、というか、これ以外にうまくそれを
言い表すことができない、ということを納得する
ことが要と思う。

「証明を記述するコメントの中にε-δ法を出てこなく
ても、それを暗黙のうちにふまえている」 は正解。
いちいち言うのは面倒だから。しかし、いつも「暗黙」
の中にというのは間違い。
$\lim_{n\to\infty}a_n=b$
なら
$\lim_{n\to\infty}(a_1+\cdots+a_n)/n=b$
の証明を御覧下さい。

34 :32:01/09/26 00:26
>>33
ありがと。
大変ためになりました(マジです)。

それと・・・$\lim_{n\to\infty}a_n=b$の記号の使い方って、一般的なのですか?

35 :132人目の素数さん:01/09/26 00:45
>>34
$\lim_{n\to\infty}a_n=b$はTexのコマンド。数学やってる人は
だいたいTex使ってるから一般的かな。

36 :132人目の素数さん:01/09/26 00:48
f(x)をxの多項式とする。
すべての自然数nについてf(x)=lognとなる
f(x)は存在しないことを示せ

この問題をお願い致します

37 :132人目の素数さん:01/09/26 00:49
>>36
ごめんなさい。書くところ間違えてしまいました

38 :132人目の素数さん:01/09/27 17:42
>>35
オレはTex持ってないけど(Texって有料ソフトだよなもちろん)、
$\lim_{n\to\infty}a_n=b$ って書いたらちゃんとレイアウトされるんだよな?
ブラウザ(htmlの)でもそう見えるのか?(プラグインはあるのですか)

以上、質問です。
(あ。Texってフリーソフトか)

39 :132人目の素数さん:01/09/27 17:52
細かいことだが、TeXだ。Texではない。

40 :132人目の素数さん:01/09/27 18:58
TeX はタダだよ。インストールは面倒だけどね。

41 :132人目の素数さん:01/09/28 18:39
>>39
TEX(Eが少し下がる)だってば。

42 :132人目の素数さん:01/09/28 18:47
>>38 たしかに
TeX か dvi のプラグインて有ってほしいと昔から思ってた。
だれかーーーーお願い!

43 :132人目の素数さん:01/09/28 18:54
>>41
TeXのFAQでは、(ロゴマークでなく)通常フォントで表すときには「TeX」でよいと・・・

44 :132人目の素数さん:01/09/28 22:23
>>42
英文用だったら IBM で *.tex 用プラグインを出していた思うが。

45 :132人目の素数さん:01/09/30 02:38
32さんに私も賛成っす.もっと頭のやわらかい若い時に知りたかった.....
確かに難しいけど,小学生低学年の時に習った割り算より簡単だったし.習った
時に偉く感動した覚えがあります.よく分からん極限という考え方が,分かりや
すい,数の大小の概念で説明されるのですから.なんかだまされた気もするけど,
きっといいのです.すべての極限の概念を用いてる数学は,ε−δ法の中で閉じて
るはず......きっと.......

でも......

「無限大は任意の数より大きい数」 これってすごすぎない!?
「無限大は数で,それは任意の数より大きい」 これは正解かなぁ.
ということは任意の数として無限大を選ぶと,
「無限大は無限大より大きい数」 になるよねぇ.
でも,無限大同士の大小関係は定義されていないはずだから,どこかで矛盾し
てない??誰か助けてーー!

俺って馬鹿?!
(こんなこと考えてたら女の子にもてないよねぇ......)

46 : :01/10/22 11:00
それに一言で答えられるようになればε-δ論法はいらなくなるのかもしれぬ

47 :510:01/10/22 12:08
>>45
学年1位のヤマダくんは生徒で、それは任意の生徒より上位だ
ということは任意の生徒としてヤマダくんを選ぶと
ヤマダくんはヤマダくんより上位
となるよね
比較対象に同じモノを選んだらこうなる。
矛盾でもなんでもなかった。

48 :132人目の素数さん:01/10/22 12:11
>ヤマダくんはヤマダくんより上位
矛盾してるだろ(w

49 :47:01/10/22 12:19
>>48
45は、つまりそういうことだと言いたかったのだが

50 :132人目の素数さん:01/10/22 12:27
つまり、

任意の生徒より上位の生徒などいない

同様に、

任意の数より大きい数など存在しない

51 :132人目の素数さん:01/10/22 12:42
人間には無限大という数を選ぶことはできないのだよ。

52 :132人目の素数さん:01/10/22 13:27
>>47は電波

53 :132人目の素数さん:01/10/22 13:49
>>48
任意の数「以上」にしとけ

∞≦∞

54 :132人目の素数さん:01/10/22 13:55
無限小や無限大が「数」でないからこその、ε-δ や n -εなのでは。

55 :132人目の素数さん:01/10/22 15:01
数学では無限は扱ってないよ

56 :132人目の素数さん:01/10/22 15:13
扱えないの?

57 :132人目の素数さん:01/10/22 15:39

そう、今のところ、多くの人は扱ってない

無限とか0÷0とか
古代インドでは扱ったらしいけどね

だいたい、この世の中に無限のもの
大きさとか、数とか
そんなものないでしょう

無限は今のところ人の心の中にだけある

58 :132人目の素数さん:01/10/22 15:41
それで
無限が扱えないから
εーδ論法 で
無限を消してしまう(←表現がおかしいかも)

59 :132人目の素数さん:01/10/22 16:01
>>57
ふ〜ん。

60 :132人目の素数さん:01/10/23 08:40
47>>
「任意の生徒より上位」の話だけど,生徒とその順番は
最大と最小があるから例として相応しくないのでは...

54>>
そうっすね.∞は数として考えないのかも.たとえば,
「記号∞を導入してすべての実数xに対して ∞ > x と
規約する.∞を無限大と呼ぶ.」
とか,
「実数の集合Aが上に有界でないとき,sup A = ∞ と形
式的に表す.」
なんて言い回しを数学辞典が使ってた.

55>>
いや,扱ってるような気がする.......
この世の中に,数等が無限なものは本当にないのかなぁ.
水素原子のスペクトルの数は,理論上無限だけど,
現実系ではどうかな?

61 :132人目の素数さん:01/10/23 10:25
εーδ論法
ペテンだっつーの

62 :132人目の素数さん:01/10/23 10:30
ε-δ論法なしで各点収束や一様収束を区別するにはどうしたらいいんだろ?

63 :132人目の素数さん:01/10/23 11:52
うーん,そもそも数列の収束からして,ε-δ論法で定義
されてるからなぁ.ε-δ論法に根拠を置かない概念しか
使わないと収束の概念も使えないかも.

61>>
なんで?

64 :132人目の素数さん:01/10/23 12:16
>水素原子のスペクトルの数は,理論上無限だけど,現実系ではどうかな?

今この瞬間にある水素の数は有限だから、
その瞬間にあったスペクトルはある特定の組合せ(有限)になるかと。
無限にあるのは、あくまで起こりうる可能性のあるスペクトル、だから
やっぱり、可能性=理論上、ってことなのかな。

65 :132人目の素数さん:01/10/23 15:02
そうかぁ.やっぱ数等が無限なものはこの世にないのかな.
あくまでも「無限大」は形式的なものだからなぁ.

>無限は今のところ人の心の中にだけある
やっぱここら辺に落ち着くのでしょうか.

66 :おお!:01/10/23 15:43
人間の心て無限大なんだ。

67 :55とか57あたり書いた人:01/10/23 15:45
>65

俺は理論物理専攻だけど
今のところ、それらしいものはないなあ

一見、無限っぽくても
あくまで、無限として取り扱ってるだけだったりして

数学の数の定義なんてこと研究している人とかで
これは無限だぜっていうものとか何かないの

っていうか、ないからε、δ論法なんて考え出したのか

無限があるか、ないかを考えると
そもそも数とは何かを考えないと、いけないけど
数って何なんだろう
2個のリンゴっていうものは存在するけど
まったく同じ2個のリンゴっていうものは存在しないから
そうやって、いじわるに見ると
2個のリンゴも2個ではなくなる

この辺の数の定義については
俺はよくわからねえ
誰か詳しい人いたら、いい本とか教えてよ

68 :ω:01/10/24 00:53
>>67
現役の学生では有りませんが、
・同次座標の元では、無限大が具体的に表せる。
・無限小解析でも幾らでも無限大を含んでいる。
・他にもあったと思う。
と言うのは違いますか?

・無限は心の中にある
もっと言うと
・無限は色んな方法で有限個の記号で定義されている。
 定義は時間も空間も無関係に存在する。
と考えると、無限が存在する(少なくても色々な定義が有る)
と思っても問題ないと思います。

69 :数学専攻:01/10/24 05:55
>>67
例えば目の前にあるりんごを数える場合はリンゴという類と目の前にある
ものとの共通部分の濃度(個数)を数えるということ。
数えるというのはその類に含まれる元(この場合リンゴ)から自然数への
全単射をあたえるということ。
あと、無限なんかいくらでもある。人間が有限回の操作しか出来ないという
に過ぎない。無限は存在するが論理によって初めて把握できる。
つまり、無限はないということこそ人間の心の中(というか意識)のお話。

70 :132人目の素数さん:01/10/24 06:07
>>69
実際に無限が存在するとのことですが、
すると例えば選択公理がこの世界で成り立つ/成り立たないが言えることになると思うのです。
ではなにかそれを実証するような実験など思いつくでしょうか?

71 :数学専攻:01/10/24 06:20
>>70
選択公理と無限集合の存在公理は別物。
実験という考え方自体が人間的だとは思いますが、
例えばある10×10の紙の上に指先を置くことを考えると
その指先の位置はいくらでも好きなだけ選ぶことが出来る。
まあ、全く同じ位置に置くこと自体が限りなく不可能ですが。
これが無限の身近な存在証明だと思います。
その言い方だと実際に人間が無限個数えられない限りは
無限は存在しないことになります。
あと、言い忘れましたが無限同士にも(濃度としての)大小関係は
あります。

72 :数学専攻:01/10/24 06:30
>>70
全角にしてしまいました。すみません。

73 :数学専攻:01/10/24 06:41
う〜ん、今更ながら気付いたのですが
皆さんが言われている無限の存在というのは選択公理のように一度に
取り出せるような無限の存在のことを言っているのかな?
だとしたら実際には存在しないという意見も一理ありますね。
#連続登校申し訳ない。もう寝ます・・・

74 :132人目の素数さん:01/10/24 07:46
今から寝るのか(w

75 :132人目の素数さん:01/10/24 07:54
盲点があるぜ。
この世の事象を数や文字で捉えようとするから
無限を考えなくちゃならなくなる。
この世を記号で表そうとすると無限という概念が必要となる。
数は、正体不明の、ただあるだけなのかもわからない
この世の中を切り出してくるもの。
数を観念したときから無限は不可避なのだ。
まさに無間地獄。

76 :132人目の素数さん:01/10/24 09:03
>>75
>数を観念したときから無限は不可避なのだ。
なるほどなあ。
自然数全体の集合の要素の個数はと聞かれれば,少なくとも有限ではないのでないかなあ。
それに,現実の世界に無限があるかどうかという疑問は考えても結論が出ない気もする
なあ。水素のスペクトルがどうだとかいっても,量子力学で考えた水素原子のモデルが
本当の水素原子を100%間違いなく表しているかどうかなんて,わかることではない
と思うし。
そんなこと言いだしたら,そもそも,この宇宙空間を何次元(最近は26次元なんです
か?)かの多様体で表すというのは本当に正しいとしていいの?何が言いたいかという
と,それが正しいなら,座標軸を1つとっても座標そのものは無限にあるのでないの?
([0,1]区間に点が無限にあるという意味でです。)もちろん,素粒子が取りうる
座標の値は量子化されて有限個に制限される事はあるとしても,位置そのものは無限に
あるのでないの?
まあ,わしも物理詳しくないからよくわかなんないけど。

77 :物理専攻:01/10/24 12:00
>>68
>・同次座標の元では、無限大が具体的に表せる。

これは数字は無限まで数えられるかどうか
っていう問題から出てくるものだと思うけど

数は無限に数えられそうだけど
数えられる人はどこにもいない
頭の中でずーっと先まで数が続くことをイメージは出来るけど・・・
この頭のなかで先はこうなるだろうと思うことが微妙

>・無限小解析でも幾らでも無限大を含んでいる。

こう言った問題も結局は
関数のとる値が無限まであるかどうか
例えばY=aXだったらXを無限まで数えられるかどうか
という問題に帰着すると思うんだけど

論理の中で頭のなかで考える分には
無限なんていくらでも出てくる
でも、実際にあるかどうかはわからない
ある座標上に無限があることは論理の上では確かなんだけど
それはどこか指定することはできない

78 :物理専攻:01/10/24 12:21
>>69

確かにそうなんだけど
僕が問題にしているのは
数を数える上で一対一の対応を行うとき

対応させる物をどういった基準で選ぶんだろうっていうこと

いくつかのリンゴを数えるときに
頭の中でなんとなく考えているリンゴというものにあたるものを
選んで一つ、一つ数字に対応させて考えるんだけど
リンゴというものが人間の概念の一つにすぎないため
対応している関係が非常にあいまいな上に成り立っている
ような気がする

こう考えると例えば10個なんて
明らかに数えられるような数もあるのかないのか微妙

目の前にある10個のリンゴを
まったく同じものである、リンゴという物だとみなして
10個と数えればまったく問題ないけど

ここでみなすという行為はある数列が無限まで続くと
考えることと
人間の判断の上で成り立っているということと同じ事だと思う

79 :132人目の素数さん:01/10/24 12:37
この論法って、オーギュスト・コーシーが考え始めたのが、
最初でしたっけ?。
いかにも意地悪なオジサンが思いついたっていう感じ。

80 :物理専攻:01/10/24 12:44
上に書いたことは
数学専攻さんが>>71に書いてあることと
同じことだから
無限の存在とは別物かも

無限が問題なのは
数学という閉じた論理体系の中で考えた場合でも
その存在があいまいな点だと思う

だから、無限という数は数学では直接、扱わずに
極限値なんて考え方を導入して
ある数が無限まで大きくなると
結果として、この関数はこの数字に近づくだとか
無限を間接的に取り扱っている

81 :132人目の素数さん:01/10/24 12:53
>>78
わしがあほなので,よく分からないけど

>目の前にある10個のリンゴを
>まったく同じものである、リンゴという物だとみなして
>10個と数えればまったく問題ないけど

10個のリンゴと思うのをやめて,10個の物あるいは10個の果物と思って見ても
まだ何か引っかかる物がありますか。それともこういう問いかけはトンチンカン?

82 :132人目の素数さん:01/10/24 12:56
でも10なる数さえもその存在を疑い出したら,後は”存在”に関する公理を決めて
とりあえず議論を終わるしかないような気がするなあ。公理論的集合論みたいに。

83 :がろいす:01/10/24 13:10
εーδ論法って、今は大学でも使わないそうですね、って大学教授に伺いましたけど、ホント?
それから、εーδ論法自体を教えている國も、日本以外ではあまり無いそうです。
ただ、今ソースが手元に無いので、断言はできませんが...。
諸外国はどうやって教えてるのかな?

84 :物理専攻:01/10/24 14:55
>>78
目の前にある10のリンゴが
まったく同じであるというのは
そのリンゴの構造が素粒子レベル
もしくは、それ以下の物質を構成する基本単位から同じということです
もちろん、そのリンゴの観測者からの位置もまったく同じ位置

もし、そうでなければ
何らかの基準を定めてリンゴをリンゴだと定義しなくてはいけない
普通はリンゴはリンゴだと
赤ちゃんのころから育っていくなかで
なんとなく、リンゴはリンゴなんだと思うけど
見方を変えればリンゴがリンゴではなくなる

例えば、目の前にある10個のリンゴに対して
リンゴは質量100グラムまでのものと定義する
9個は100グラムで、のこり一個は101グラムの場合
リンゴ9個に、リンゴ以外のもの一個となってしまう

このことを説明するのにリンゴはちょっとわかりにくいかも


わかりやすい例だと
2匹のブリと3匹のかんぱち、5匹のひらまさ
なんてものが混じってたら
どう数えるのが正しいかという問題なんかいいかも

85 :81:01/10/24 15:06
>>84
>目の前にある10のリンゴが
>まったく同じであるというのは
>そのリンゴの構造が素粒子レベル
>もしくは、それ以下の物質を構成する基本単位から同じということです

そのつもりで言ってるんだろうなとはちゃんと思ってましたよ。

>もちろん、そのリンゴの観測者からの位置もまったく同じ位置

さすがにそこまでは考えていなかった。すべての素粒子の位置ベクトルが,
定ベクトルだけ違うのは許すのだと思ってた。

でも,それが,数えるという行為にどう影響するかという気持ちのところ
がわからないんだなあ。

86 :物理専攻:01/10/24 15:18
>>82

結局は疑いをどこで止めるのかという問題になってしまうんだろうか

とりあえず
ニュートン力学や相対論の範囲では
無限の定義なんてどうでもいいけど

量子力学の範囲では
かなりあやうい

>>83

俺は理学部の理論物理専攻だが
学部生の間には
必修の課目の中でεーδ論法なんて出てこなかった

でも、微分や積分を勉強していると
名前だけは出てくるような気がする

無限に関しては誰もが疑問に思うけど
ほうっておいても、さしあたって問題はないので
深くはつっこまないんじゃないかな

円周率を3とみなしても問題がないのと同じような感じで

でも、大学生なら自分の研究テーマきめて
必要だったらεーδ論法だろうが、ルベーグ積分だろうが
自分で調べて、身に付けろと言いたい、俺は

87 :物理専攻:01/10/24 15:36
>>85

確かに数えるという行為自体には影響はない

でも対象の定義の方法で
数えた行為の結果が変わってきてる

これが数えるという行為に影響を及ぼしていると
みなそうと思えばみなせると思う

この問題は最終的には
数学専攻さんが>>71で言ってることに行きつく
と思う

88 :132人目の素数さん:01/10/24 15:37
ε−δ論法を使わないとしたら,例えば
数列a(n)の(n→∞の)極限がαとするとき,
b(n)=(a(1)+・・・+a(n))/n
で定義される数列b(n)の極限はどうやって厳密に計算するのかな。

89 :88:01/10/24 15:49
要するに,ε−δ論法以外の定式化を具体的に知りたいってこと
何だけど。(できれば超準的方法以外)

90 :132人目の素数さん:01/10/24 16:06
limの計算の公式を公理にしちゃう?

91 :132人目の素数さん:01/10/24 16:53
εーδやるならよその講座いっとくれ
とうちの教授はおっしゃる。

92 :132人目の素数さん:01/10/24 16:58
>>89
まずいことが一見起こりそうにないε-δ論法でも、それがペテンじゃないとは言い切れないんじゃない? たとえ厳密に定式化できたとしても。

93 :92:01/10/24 17:03
そりゃ86の物理専攻さんがいってるようにどこかで疑いをとめなきゃいけないとは思うけどね。

94 :132人目の素数さん:01/10/24 17:17
エポケですな。

95 :>>91:01/10/24 17:17
εーδやらないならよその講座いっとくれ
とうちの教授はおっしゃる。
ならよかったのに

96 :132人目の素数さん:01/10/24 17:26
ε−δなんて解析概論の第一章くらいでじゅうぶんでしょ。
それともまだ議論をしないといけないのか。
そこから新しいものは生み出せる?

97 :132人目の素数さん:01/10/24 17:29
あーーもう 宗教ってことにしといたら
1は満足するかも

98 :132人目の素数さん:01/10/24 17:38
少なくとも無限とは何かという問いに対してはε-δは無力。

99 :132人目の素数さん:01/10/24 17:45
とは何か ってなんかの宗教?

100 :132人目の素数さん:01/10/24 18:08
60での辞書の引用が無限とは何か?の答えだけど,
何かを形式的に導入することを認めるかどうか?ってのが問題じゃないかなぁ.
僕は無限を形式的に導入してもいいと思うなぁ.議論がその概念のなかで閉じ
ていれば.
ε-δや形式的な導入に皆さん賛成っすか?
僕は賛成だなぁ.ユークリッドとかに戻ると何かを生産するのが厳しいなぁ.

>>88
ε−δ論法を使わないとしたら,
数列a(n)の(n→∞の)極限をαと出来ないのでは.....

>>90
limの計算の公式一群が任意の数より多いことが証明されたりして......

101 :88:01/10/24 20:14
>ε−δ論法を使わないとしたら,
>数列a(n)の(n→∞の)極限をαと出来ないのでは.....
っていうか、数列a(n)の(n→∞の)極限がαであるという仮定から
数列b(n)の極限がどのように結論できるかと言う問いかけです。

102 :132人目の素数さん:01/10/24 20:18
http://www.sex-jp.net/dh/01/

103 : :01/10/25 17:54
ε-δに躓くのは「∀:任意の」とか「∃:存在する」とか,
述語論理の段階であやふやな場合がおおい。
述語論理をしっかり時間をかけて扱うと
状況は改善するかもしれない。
「一様収束」なども「∃」の置かれる位置のちがいだ
とかの形式的な側面から把握するのも有力だ。

104 :132人目の素数さん:01/10/25 17:59
http://www.f2.dion.ne.jp/~impact14/

105 :132人目の素数さん:01/10/27 01:07
イプシロン-デルタ論法、よくわかる本ある?

106 :132人目の素数さん:01/10/27 02:01
普通の本でよくわかります。
本以上に大事なのが自分で考えることです。

107 :132人目の素数さん:01/10/27 04:57
分かりやすい説明。

2人で小さい正の数を言った方が勝ちのゲームがあるとする。
例えば、先手が「10」、後手が「7」と言ったら後手の勝ち。
これは先手後手どちらが有利か?

答えはもちろん「後手」。何故なら、いくらでも0に近い数字を
考えることができる。
先手が「0.0000000001」といっても後手が「0.00000000001」といってしまえば
後手の勝ち。

つまり、どんな数をとってもそれより近い数字を考えることができる。
これが連続の定義。

108 :107:01/10/27 05:00
つまり、上がε−δ論法な訳です。

もし、正の整数を考えたらそうはいきません。
先手が「1」と言ってしまったら後手はもう「2以上の数」を
言うしかありません。
明らかに「先手」有利になるのです。

これが連続と離散の違いということになります。

多少正確さを欠いてしまったかもしれませんが、いかがでしたか?

109 :132人目の素数さん:01/10/27 18:32
>>107-108
目から鱗が落ちた。分かりやすいなぁ。
勉強になったよ。

110 :132人目の素数さん:01/10/28 01:06
>>109
同意。正確性を欠いているが初心者には理解しやすいな。

111 :132人目の素数さん:01/10/29 14:26
>>107-108
"コンパクト"迄は有効か。
まあ、贅沢は言うまい。

112 :132人目の素数さん:01/10/29 15:18
>>107-108
(・∀・)イイ!
授業で使わせてもらうよ。

113 :132人目の素数さん:01/10/29 15:56
>>112

「0からはじめる微分積分」
っていう本を買えば

114 :132人目の素数さん:01/10/29 16:01
っていうか
107は
ただの他人の受け売りなのに
それを、さも自分の手柄のように書き込んでるんで
むかつく

115 :132人目の素数さん:01/10/29 16:12
文句だけは一人前!

116 :132人目の素数さん:01/10/29 16:15
>>107>>112の本に書いてあることなの?

117 :132人目の素数さん:01/10/29 16:16
>>114はそれすらできないから負け。

118 :132人目の素数さん:01/10/29 16:21
>>114
カルダノには敵わん。
結局初めに発表した奴の勝ち。お前は敗け。

119 :132人目の素数さん:01/10/29 16:22
>>107-118
それって,実数の完備性の話?だったら,的外れじゃないかなあ
それじゃあ有理数も連続になっちゃうよ。
それとも,実数上の関数の連続性の話?だとしたら,関数が見えないなあ

以上 素朴な疑問

120 :119:01/10/29 16:23
あ,いんようミス
>>107-108
でした

121 :132人目の素数さん:01/10/29 16:25
有理数でもカマワンだろ
えぷしろんデルタ論法と
実数の連続性は関係ない

122 :119:01/10/29 16:25
あ,連続の話じゃなくて,ε−δ論法の話だと思えば
なんとなく...

123 :119:01/10/29 16:27
>>121
そだね

124 :132人目の素数さん:01/10/29 16:32
>>107は「∀ε∃δ」の説明です。
それで何が解るのか知らんが(w

125 :132人目の素数さん:01/10/29 16:38
>>107には
>これが連続の定義。
と書いてあるが・・・

126 :132人目の素数さん:01/10/29 17:03
>>107-108には「正確性を欠く」って書いてあるじゃないか・・・
お前ら子供っぽいな。
まるで鬼の首を取ったように喜んで・・・(w

127 :132人目の素数さん:01/10/30 00:29
良スレにつき、age

128 :132人目の素数さん:01/10/30 17:19
デデキントの連続性公理にε−δ論法を使ってるから,
実数の連続性とε−δ論法はあながち関係なくもないYO!

129 :132人目の素数さん:01/10/30 17:24
>>128
どこね?
上限の存在に使うか?
エプシロンいらんやろ.
そんなんまでエプシロンでるた
なるっての拡大解釈しすぎ

130 :132人目の素数さん:01/10/30 18:41
拡大解釈しすぎかなぁ.

「任意の実数はある有理数の集合の上限で表すことが出来る」
この実数の性質は,ε−δ論法を用いている,とはいえないのかななぁ.

でも,
「実数は有利数列の極限で表すことが出来る」
これはε−δ論法つかってる,と言えるんじゃないかな.

Cantorの実数論がCauchy数列を用いてるから,
これもε−δ論法がなきゃいけないんじゃないかな.

実数の完備性の説明も,Cauchy数列の極限を扱
うんじゃないかな.

Dedekindの連続性の公理では,
任意の切断に対して実数xガ存在して〜
なんて感じで議論が進むんじゃなかったっけ.

「任意の何かに対して,ある何かがぞんざいし〜」っていう
論法がε−δ論法で,数列の極限という概念はε−δ論法に基礎
をおいている,という考えはいけない?

131 :132人目の素数さん:01/10/30 18:48
>>130
実数の性質全体じゃなくて
連続性公理っていったでしょ,あなた.
それは,上に有界な実数の集合には上限,すなわち
最小上界,がある,ってことでしょ.
最小上界の定義にはエプシロンいらないでしょ.
もちろん,そこからすすんで極限を定義するなら
エプシロンでるた使うんだろうけど,
それは有理数だけで,極限を定義する場合でも
おなじでしょ.

132 :132人目の素数さん:01/10/30 18:59
>>131
レスはや!むむむ,2チャン見てると仕事に手がつかない....
まぁいっかぁ.面白いし.

> 実数の性質全体じゃなくて
> 連続性公理っていったでしょ,あなた.
失礼.デデキントの連続性公理に議論を絞ります.

確かに,最小上界があるってことなんだけど,あくまでも,
任意の分割に対してある,ってことが重要なんじゃないかな.
この,「任意の分割に対してxが存在する」って議論がエプシ
ロンでないって言うなら,まぁそうだけど......

133 :>>132:01/10/30 19:02
分割??

134 :132:01/10/31 01:54
おおっと.
分割でなくて切断(cut)でしたぁ.

135 :132人目の素数さん:01/10/31 03:36
だれかデデキントの切断の意味を教えてくれ・・・

できれば、「上に有界」とかそういう概念もお願いします。

136 :88:01/10/31 17:00
結局ε−δ論法以外に極限の概念を厳密(?)に扱う方法は,超準解析ぐらいしか
ないのでしょうか。

137 :4:01/10/31 17:09
>>136
当然でしょ。論理性を追求した結果が今の数学なのだから。別ないい方をすると
動きとか時間の変位といったものは数学でいう論理性の枠に入らないってこと
でしょう。

138 :132人目の素数さん:01/10/31 17:17
>>137
4=1だが・・・
ネタ?

139 :137:01/10/31 17:18
>>136
間違えて、名前に 4 が入ってしまいました。まぎらわしくなって失礼しました。

140 :数学専攻:01/10/31 17:22
順序体Kの切断:A∪B=K、A∩B=φ、(a∈A、b∈B)⇒a<b
となるような順序対<A,B>
デデキントの公理:Kの切断<A,B>を考えるとmaxAとminBの
どちらか一方だけが必ず存在する。
A⊂Rが上に有界:任意のx∈Aに対してある正数Mが存在して|x|<M

ε-δを用いない極限:xを含む開集合をxの近傍という。
列{a_n}を考える。任意のxの近傍Vに対しあるn∈Nが存在して
a_n∈Vのときa_n→x
ε-δを用いない連続関数:fの定義域をD,値域をf(D)とする。
このとき任意の開集合V⊂f(D)に対してf^(-1)(V)がDの開集合
であるときfを連続関数という。

141 :数学専攻:01/10/31 17:23
>>140
>デデキントの公理:Kの切断<A,B>を考えるとmaxAとminBの
>どちらか一方だけが必ず存在する。
こっちはKじゃなくて実数体Rです。

142 :132人目の素数さん:01/10/31 17:36
>137
開集合とかフィルターとかって知ってる?

143 :数学専攻:01/10/31 17:39
うわ、更に間違えてる。
>A⊂Rが上に有界:任意のx∈Aに対してある正数Mが存在して|x|<M
ここで絶対値記号||はいらないです。これが付いた場合は単に有界といいます。
また、上に有界は次のようにもいえます。
「C⊂Rが上に有界:あるRの切断<A,B>が存在してC⊂A」
連続ですみません。

144 :132人目の素数さん:01/10/31 19:50
>>143
な、なるほど。
もっと平たく言うとどうなります?

145 :137:01/10/31 20:13
>>142
説明の仕方が悪かったのかも知れません。誤解がないためにいいます。フィルター
の内離散集合上の可算完備な極大フィルターが主フィルターでない場合、この集合
の基数はとても大きくなり、最小の可測基数よりおおきくなります。これは Ulam
により研究されたことで今でも研究がつづいています。これはわからないで書いて
いるわけではないというために書きました。
今べつな説明もつづいているようですが論理的で一番簡明なのがエプシロン−デル
タ論法なので、まあ他にいうことがないという意味で137に書きました。確か前の
ほうで述語論理にふれている記事があったと思います。開集合とかフィルターとい
う概念をどうやって正確に定義できると思いますか?難しい概念を使ってより易し
いことを導くのが受験数学のテクニックで、大学院にきてもそれをやろうとしてい
る人が多いのです。

146 :132人目の素数さん:01/10/31 20:43
> 開集合とかフィルターとい
> う概念をどうやって正確に定義できると思いますか?

 集合の集合が定義できてればいいだけとちゃう?
 公理的集合論は、「集合の集合」という概念を自己回帰的にでき
るようにしてるから、高利的集合論でフィルターなんか使うと「濃
度がとてつもなく大きく」なって「大げさ」なような気がするけど、
そもそも「集合」という概念は「1変項命題」を「モノ」に置き換
えて、本来なら2階術語論理を使わなきゃならないはずの議論を1
階術語論理の範疇で書き直すための方便に過ぎないわけだから、そ
んなに気にすることでもないと思う。

147 :132人目の素数さん:01/10/31 20:50
読みにくいから適度に改行を入れてよ・・・・

148 :132人目の素数さん:01/10/31 20:54
 要するに、R上のフィルターを考えるということは、「実数に関する任
意の命題 P,Q が性質 X を持っているなら、命題 P∧Q も X とい
う性質を持つ」ということをモノ化した表現に書き換えただけのこと。

149 :132人目の素数さん:01/10/31 20:56
>>146
あなたの書いていることはちっともおかしくないですが、その中に「任意の
何かに対して、何々が存在して」ってのがあるでしょう。フィルターの定義
でも。だからエプシロン−デルタ論法のより易しくはないでしょうといって
いるのです。(実数の集合あるいはそのまた集合を使うともっと複雑な概念
が定義されるという理論もありますがそのようなことをいわなくても理解し
ていただけると思って書いています。)もともと、一番簡単な方法を使うな
という制約がおかしいのだと思いますが、タイミングよく136の発言があった
ので137を書いたのです。

150 :132人目の素数さん:01/10/31 21:04
フィルターを使うメリットは、「任意の何かに対して、何々が存在して」
という議論をすべてフィルターの定義の中に封じ込めてしまって、あと
の議論は包含関係などの純粋な代数演算で済むようになることでしょう。
例えば近傍フィルターを使った関数の連続性の定義とか、超フィルター
を使ったコンパクト性の定義とか、チコノフの定理の超フィルターを使
った証明なんか、もろにそうですね。ブルバキ流の位相の解説はそこに
特徴があると思います。

151 :132人目の素数さん:01/10/31 21:33
150 の方の書かれたことをもっと押し進めたのが 136に触れられている超準解析
で、まあどれで扱うのもわかれば、同じようなものだと思います。ただエプシロン−
デルタ論法がわからなくてわかる数学ってのはなんなんでしょうか?って気がし
ます。エプシロン−デルタ論法がわからない数学者がいるのなら、私のいっている
ことがおかしいのだと思いますが。

152 :132人目の素数さん:01/10/31 21:38
自作自演の予感…

153 :132人目の素数さん:01/10/31 22:34
つーかこれ研究者レベルだね。

154 :132人目の素数さん:01/10/31 22:39
厨房には難しすぎるよ・・・
これ書いてる奴は理解して書いてるのか???

155 :132人目の素数さん:01/10/31 22:50
>153
森毅の入門書に>>150とおんなじようなことが解説されてたよ。

156 :153でなし:01/10/31 23:15
>>155
「位相のこころ」ですか?
まあ専門書ではないが、なんか入門しづらいなあ(^^;

157 :132人目の素数さん:01/10/31 23:32
フィルターって何?
ろ紙のこと?

158 :132人目の素数さん:01/11/01 00:24
イデアルの双対みたいですね。
イデアル
1)0∈I 2)i,j∈I⇒i+j∈I 3)i∈I,a∈A⇒ia∈I
フィルター
1)1∈F 2)f,g∈F⇒fg∈F 3)f∈F,a∈A⇒f+a∈F
違ってたら教えて。
素フィルターとか、その位相空間とかあるのかな?

159 :132人目の素数さん:01/11/01 01:33
> エプシロン−デルタ論法がわからなくてわかる数学
ユークリッドは?
有限な空間内での作図でひたすら頑張る!

......やっぱこんなのダメだよね.

僕もフィルター,超準解析はエプシロンデルタよりムズイ!
に一票.宇宙って何ですか?!って感じです.態度でかすぎ.
でも,かなり強力な方法らしいですねぇ.

160 :132人目の素数さん:01/11/01 03:01
ε-δでないといえば、
ギリシャ数学の「とり尽くし法」なんかはどうですか?
面積を求めるのにしか使えないのかな。

161 :>>160:01/11/01 16:14
エプシロン・デルタと
取り尽くし法に本質的な差はないと思うが

162 :132人目の素数さん:01/11/01 16:33
>>158
集合の ∪,∩ をそれぞれ代数の ・,+ に置き換えれば、フィルターと
イデアルは全く同じモノですね。だからこそ超フィルターの存在定理と
極大イデアルの存在定理が全く同じ論法で証明できる。

163 :蛇足ながら:01/11/01 16:49
>>162
実は「同じ論法」というより,ブール環にうつれば
極大イデアルの存在定理は
超フィルターの存在定理を特殊な場合として
含む.ついでにストーンの表現定理もそれから
すらすら出る.

164 :132人目の素数さん:01/11/04 19:49
age

165 :132人目の素数さん:01/11/05 01:44
CauchyからWeierstraβに至るε-δ論法の完成によって、
微積分における無限小・無限大などのあやふやな概念は
追放されたかに思われました.

1900年にPoincareも「数学はついに算術化された。
今日絶対的な厳密性が達成されたと言ってよかろう」と講演しています.
ところが、

数列{a_n}_nとは直積集合N×Rの部分集合Aであって、
(n,x)∈Aかつ(n,y)∈Aならばx=yという条件を満たすもののことである.

このように数列などの基本概念には、
自然数の全体や実数体という無限そのものが関係しています.

このことについてHilbertは
「Weierstraβの鋭い批判の眼を掻い潜り、
無限はなおこの様に彼の理論の中に姿をくらまして残されていた訳で、
実無限に関する問題こそ我々の究明を要する最後の問題である」と述べています.

ここにはRusselによる集合論のパラドックスの発見やBrowerによる集合論への反対運動(
とりわけ排中律と選択公理が攻撃の的でした)がありました.
実際、フィルターを使って説明しても、
選択公理と同等のZornの補題を使う訳で同じ議論が展開されます.

これ以上の話は私には説明できませんが、ε-δ論法にはこんな話もあります.
せっかくですので書いておきました.

166 :火星人:01/11/05 02:07
公理(定義)を避けたいのなら具体的なコンピュータで考えますか?
1+2+...+n = n(n+1)/2 = f(n)

f(int n){
assert(n>=0);
int ret=0;
for(int i=1;i<=n;i++)ret+=i;
return ret;
}

同様に積分は、
for(;;){略}
どうやって値を返すのか?

ここで湧き上がる問題:
・アルゴリズムは、グラフと論理で表現できるがその意味は?
・計算にはエネルギーが必ず必要だが、その意味は?
・1+2+...+n = n(n+1)/2 = f(n) の違いはなに?
私には、これが数学と物理学を結びつけるヒントに思えます。

167 :132人目の素数さん:01/11/05 04:03
>>166はチャイティンの本の受け売り(ぷ

168 :132人目の素数さん:01/11/05 04:09
実証の模倣が主なんだから当たり前じゃん

169 :132人目の素数さん:01/11/05 04:40
>>168
受け売りのくせに
>私には、これが数学と物理学を結びつけるヒントに思えます。
さも自分の考えのような書き方してるのがみっともないんだよ(w

170 :168:01/11/05 04:46
っていうか因果を超えた思考なんて理解不可能だし

171 :168:01/11/05 04:48
火星人がみっともないって?
そりゃ火星人じゃしょうがないじゃん

172 :168:01/11/05 04:54
異形のモノへの嫌悪
本能ですかね?習慣ですかね?

173 :132人目の素数さん:01/11/05 09:33
>>165
もう少し詳しく知りたいので引用されたものの出典をお教えいただけない
でしょうか?

174 :132人目の素数さん:01/11/08 12:46
遅ツッコミ:
>具体的なコンピュータで
ってどれ?

175 :132人目の素数さん:01/11/09 03:27
>>165
でもε-δ論法は,自然数,実数の無限,連続性,または集合論と
全然関係ない気がするのだけど.......

間違ってるかも知らん.指摘求む

176 :132人目の素数さん:01/11/09 13:19
>>175
わたしも上でそう主張したことがあったが
どうもそう思わない人も多いみたい.
なんでもかんでもごっちゃにするんだよ.

177 :132人目の素数さん:01/11/09 16:50
ε-δ論法って関数の連続性を記述するための方法じゃないの?

178 :132人目の素数さん:01/11/09 16:56
連続とか収束の定式化を不等式を用いたというだけ
のことだよ.
しかし,実数の連続性とかには関係ないという意味だと
解して176を書いたんだが.

179 :175:01/11/09 17:15
そうだよね.どうしてごっちゃにするのか,反論を聞きたいよ.
連続性の説明にはε-δ論法は必要だけど,ε-δ論法の説明には連
続性は必要ないと思うわけよ.だって,
「任意の数ε」
「それに対してδが存在する」
「ε,δと他の数との大小関係の比較」
どれに対しても実数の連続性は必要ないよねぇ.

180 :132人目の素数さん:01/11/09 17:18
>連続性の説明にはε-δ論法は必要だけど
なら「全然関係ない」ってことはないな(w

181 :178:01/11/09 17:21
ちがうちがう,言葉がおなじだから
紛らわしいが,
関数の連続性と
実数の連続性
の区別.当然関数の連続性の定式化には
つかうわけだが.

182 :132人目の素数さん:01/11/09 17:24

    . / ̄ ̄ ̄|
    | / ̄ ̄ ̄|       / ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
    | 6 ´ ⊇・`|     < まぁ落ち着けよ。
    | ____|       \________
    /     \
   / /\   / ̄\
 _| ̄ ̄ \ /  ヽ \_
 \ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ \__)
  ||\            \
  ||\|| ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄|| ̄
  ||  || ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄||
  ||  ||           ||

183 :>182:01/11/09 17:29
きみもな. ちょっと髪がみだれてるよ.

184 :132人目の素数さん:01/11/09 17:54
>>181そうだね
「実数の連続性」という言葉は伝統的に使われてるけど
今の用語なら 「実数の完備性」という方がむしろ正しい

185 :179:01/11/09 18:05
>>180
あ,そっか.

>>181
実数の連続性の説明の方にはε-δ論法は使わない,ってこと?
信じられないです.

>>184
むしろ正しいってどういうこと?
実数の連続性と,実数の完備性の意味が同じってこと?!

186 :>>185:01/11/09 18:09
ずっと上の方121あたりで
すでにそういう話やってんのよ.
また繰り返すことになる.

187 :185:01/11/09 18:14
>>186
そだね.繰り返してますね.

188 :132人目の素数さん:01/11/10 13:28
「∀ε∃δ」
「任意のεに対してあるδが存在する」
がε−δ論法で,ε−δ論法は数列の概念に極限を与える.
けれども、数列の概念が実無限をもっている訳だから
ε−δ論法を使っても実無限が紛れ込む論点が変ったに過ぎないわけ.

数列を使わないならば、
ε−δ論法は、基礎論が問題にしているような実無限とは無縁ですが…
ということでしょ?

数列を使ってこそε−δ論法は便利な道具になるんだから
基礎論が問題にしているような実無限が重大な問題なんだという
ヒルベルトの指摘は正しいよ.

189 :132人目の素数さん:01/11/10 14:28
「実無限」は数学の用語ですか?

190 :132人目の素数さん:01/11/10 19:47
>>189
あたりめえだろ!
常識ねえな.

191 :132人目の素数さん:01/11/10 19:59
>>190
哲学用語だろ!
常識ねぇな.

192 :132人目の素数さん:01/11/10 20:02
>>175
>>176
てめえらがまぬけだからりかいできねえんだよ
>なんでもかんでもごっちゃにするんだよ
いっしょうそうおもってな

193 :132人目の素数さん:01/11/10 20:04
岩波数学辞典には載ってないな

194 :132人目の素数さん:01/11/10 20:05
>>191
数学用語だと思うYO!

195 :132人目の素数さん:01/11/10 20:12
哲学者は有名な人でも驚くほどドキュソな発言をしてるから
気をつけたほうがいいぞ。

196 :132人目の素数さん:01/11/10 20:13
>>194
実無限と可能無限という言葉は無限に関する数学史をひもとくと現れます。しかし
193にいわれているように数学用語ではありません。もちろん数学用語であるか、
ないかは証明があるようなものではありませんから、あなたが数学用語だとガンバ
ルならばそうかもしれません。

197 :132人目の素数さん:01/11/10 20:14
>>194
哲学用語だ。何せ俺が知らないんだからな。

・・・と言えるくらい数学の知識が欲しいなぁ。

198 :132人目の素数さん:01/11/10 20:16
数学用語と主張するなら定義を言ってみろや。

199 :132人目の素数さん:01/11/10 20:18
>>193
>>196

数学用語
[定義]岩波数学辞典に載っている用語のこと.(w

200 :132人目の素数さん:01/11/10 20:21
>>198
実無限が定義できてれば基礎論なんて必要ねえだろ.おまえバカ?

201 :132人目の素数さん:01/11/10 20:44
関数論でも実積分で「実無限積分」は出てくるよ.
実無限は定義がないけど使われるんだよね.
やっかいだなぁ.

202 :132人目の素数さん:01/11/10 20:49
>>201
その「実」は実数って意味でしょ。実積分の無限版という意味でしょ。

203 :132人目の素数さん:01/11/10 20:50
>>202
あ、気がつかれた(w

204 :132人目の素数さん:01/11/10 20:53
>>203
いたずらして!わりぃやつだな。へへへ、、、。

205 :132人目の素数さん:01/11/10 20:54
歴史的には数学で先に出た用語で、
哲学ではそれを使ってるだけだから.
少なくとも哲学用語であって、数学用語ではないというのは
へんじゃないの?

206 :132人目の素数さん:01/11/10 21:00
>>205
数学者が使っていた用語であるのは確かだけれど、その内容は哲学であって
数学ではなかった。Brouwerの直観主義だって主張は哲学に属するもので、
べつに数学の定理を述べているわけではない。そのころ証明したものは、
形式化された直観主義数学の定理となっているが、それはそういうこと。

207 :132人目の素数さん:01/11/10 21:01
卵のほうが先じゃなかったっけ?

208 :132人目の素数さん:01/11/10 21:02
そりゃー、にわとりだろうが!

209 :132人目の素数さん:01/11/10 21:09
>>189
こんなところでどうよ?(w

210 :132人目の素数さん:01/11/11 00:53
実無限といえば、野矢茂樹(哲学者)だろ。

http://mentai.2ch.net/philo/kako/984/984395984.html
http://www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/keijiban/b0011.html#b19990525061418
http://www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/keijiban/b0011.html#b19990525061418

211 :132人目の素数さん:01/11/11 01:05
この本の著者?

野矢茂樹『無限論の教室』 (講談社現代新書 1420)

212 :132人目の素数さん:01/11/11 01:12
>>206
>数学ではなかった。
おまえ、頭、大丈夫か?(w

213 :132人目の素数さん:01/11/11 08:44
>>212
その前の「哲学であって」を非難せず、「数学でなかった」を非難
するって
おまえ、頭、大丈夫か?へへへ、、、。

214 :132人目の素数さん:01/11/11 16:26
>>213
>哲学であって数学ではなかった。
内容には反論できないから屁理屈で応戦なのかい?(w
もう少し内容のあるからみキボヌ.退屈なのよねん.

215 :132人目の素数さん:01/11/11 17:56
「数学用語」でも「哲学用語」でもない。
「数学史用語」だね。

216 :132人目の素数さん:01/11/11 18:05
こんなことを哲学と称してるやつはアホだな
哲学とは自己を問うがくもんだよ

217 :132人目の素数さん:01/11/11 19:14
さっさと定義して下さい。

218 :132人目の素数さん:01/11/11 19:30
>>217
何を?
「数学用語」「実無限」?
どっちにしても激しく概出

219 :132人目の素数さん:01/11/11 21:53
>哲学とは自己を問うがくもんだよ

ぷぷぷぷぷ

220 :132人目の素数さん:01/11/21 23:42
ε-δ論法は古いと言ってNonStandardAnalysisがいいとか言う奴は何割が厨房なのだろうか…

221 :132人目の素数さん:01/11/23 14:44
>>220
そういうひとにはツッコミ入れて反応を見る

222 :狂犬製:01/11/23 16:42
結局理系学生のほとんどが躓いて理解を諦めるところだから
理解もせずに「どうせ使えない」なんて言うヤツが大勢いるんだろう。
数学科のヤツは当たり前で使えるんだろうけど。

223 :132人目の素数さん:01/11/23 17:17
要するに、無限大とか無限小(絶対値の)という、
直観的に理解できないものを、厳密に扱うための道具だ。
厳密に扱うのが数学科。

224 :132人目の素数さん:01/11/23 17:26
厳密という妄想に捕われるのが数学

225 :132人目の素数さん:01/11/23 18:14
実数の連続性なんて基本的には区間縮小法で終りだろ。
つまり、どんな実数も有理数の区間をどんどん縮小していったものである。
例えば√2は無理数だが、[1,2],[1.4,1.5],[1.41,1.42],…
という区間縮小列の極限である。

この理屈でいけば1=0.999…である。なぜなら
[0.9,1],[0.99,1],[0.999,1],…
はどれも1を含むし、0.999…も含む
極限は1つだから、両者は同じだ。

226 :132人目の素数さん:01/11/23 18:42
> 極限は1つだから

ここのところ、もっと説明してもらえますか?

227 :132人目の素数さん:01/11/23 19:42
点が2つあればその間の距離以上に狭い幅になれない。

228 :132人目の素数さん:01/11/23 19:51
RはHausdorff空間なんだから当たり前ダロ!

229 :132人目の素数さん:01/11/23 20:23
>>226
>> 極限は1つだから
>ここのところ、もっと説明してもらえますか?

気分として、区間が限りなく0に近づく状況で、
その中に2つ以上の点があるって、なんかヘンでしょ。

もちろん、別にヘンじゃないといわれると、
あ、そ、で終っちゃうけど(笑)

230 :132人目の素数さん:01/11/23 20:24
>>229

もちろん、際限なくギャップを追求する立場もあるよ。
J.H.Conwayのsurreal numberなんてそうだね。

231 :132人目の素数さん:01/12/14 13:55
agemasu

232 :                            :01/12/24 06:30
実数の各点事に、その接空間を考えてやった拡大された空間を
かんがえると、微積分が簡明になるんじゃなかった?

233 :132人目の素数さん:01/12/24 06:52
>>232
そんなことわかる人はもともと微積分が簡明にわかってるんで、
ことのあとさきが逆じゃない?

234 :132人目の素数さん:01/12/24 09:24
というか、「簡明化できた微積分」と「通常の微積分」との
関係を明らかにしないと意味ないでしょ。

235 : :02/01/28 03:25
イプシロン・デルタロンポー

236 :132人目の素数さん:02/01/30 20:54
こんな論法全く解らないで3年まできてしまって全く今まで困った事なんて
ありませんが何か?

237 :132人目の素数さん :02/01/30 21:00
>>236
あんた数学科、またはこれと同等な学科?
大学どこよ?(イニシャルかどの地方かでもいいよ)

238 :132人目の素数さん:02/01/30 21:29
>>236
それが困ったことなんだよ。
つまり、数学をわかろうとしないとこまらないんだよ。
そりゃそうだろう、数学わからないと生きていけなくちゃ
大変だ。

239 :132人目の素数さん:02/01/31 16:51
>>236
そんな簡単なこと分からないって言っても
自慢にならんな。

あ、自慢じゃないのか。馬鹿であることを告白してるのか。

240 :132人目の素数さん:02/02/01 02:34
εーδ論法がわからない人たちのほとんどは
そもそもεーδ論法がなぜ必要なのかがわかってないことが多い。


241 :132人目の素数:02/02/01 02:51
εーδ論法が分らない・・・。
それは、「おまえはこれ以上数学を学んではいけない」という、
神さまからのありがた〜いお告げです。

このことが判っただけで儲けものです。そういう人間には数学は向き
ません。該当する人は、今すぐ数学なんてやめてしまいましょう。

242 :132人目の素数さん:02/02/01 02:53
大丈夫,神なんかいなくても数学はできます。

243 :132人目の素数さん:02/02/01 02:57
神に言われる前に、周りの人間から言われると思う。

244 :132人目の素数さん:02/02/01 11:11
無限小を定義する方法には、少なくともε-δ論法と、+∞と−∞の間を使う方法がある。
ε-δ論法が主流派になった歴史的な経緯は知らないのだけど、知ってる人は教えて下さい。

245 :132人目の素数さん:02/02/01 11:34
> 無限小を定義する方法には、(中略) +∞と−∞の間を使う方法がある

どんな方法でしょう?できたらご教示くださるとさいわいです.

246 :132人目の素数さん:02/02/02 00:20
 ω=Э゚ ゚。

247 :132人目の素数さん:02/02/02 16:44
>>236は多分留年していて、学部1年の微積の単位をテキトーに積分の計算して獲った。


248 :132人目の素数さん:02/02/02 21:34
>>246
http://www.google.com/search?q=%83%D6%81%81%84%5E%DF+%DF&hl=ja&lr=

ぜんぜんわかりません

249 :132人目の素数さん:02/02/02 21:37
(・ω・)ノ ごまちゃん

250 :132人目の素数さん:02/02/02 22:04
解析の基礎はε-δ論法で一応、確立されてますが、
別にこれがなくたって解析は築きあげることはできます。
というわけで、↓
>このことが判っただけで儲けものです。そういう人間には数学は向き
>ません。該当する人は、今すぐ数学なんてやめてしまいましょう。
は言いすぎだと思います。
たとえば無限小解析というものがあります。
ちょっとさわりだけを言うと、無限小数Δxなる新しい数を導入して、
無限に小さい数が実際にあると考える。
そこでst(standard)を「標準部分」をあらわし、
無限小でない部分を取る操作を表すとしよう。例えば、
st(3+Δx)=3、st(πΔx)=0など。
これを用いて微分を次のように定義する:df/dx=st(Δf/Δx)
たとえばf=x^3とすると
st(3x^2+3xΔx+(Δx)^2)=3x^2となるわけである。
あんま普及してないみたいな考えかたですけれど。

251 :132人目の素数さん:02/02/02 22:21
しかし、あの程度の論理的思考ができないのなら、数学の本を
まともには読めないのではなかろうか。(イプシロンーデルタ
を使うところ以外でも分らないところが続出しそう。)

252 :132人目の素数さん:02/02/02 22:23
ε-δ論法が理解出来ない奴に無限小解析が理解できるとは思えない

253 :132人目の素数さん:02/02/02 22:49
>>245
1/(∞) − 1/(∞−1) を計算して、適当に単位円に当てはめてみてちょ。
同じ形がアルティンのπ(なんちゃら)だかに出てくるのは面白いね。じゃ。

254 :132人目の素数さん:02/02/02 23:02
変分法もε・δみたく厳密に理論展開できるのでしょうか?

255 :132人目の素数さん:02/02/03 03:07
ででで
ででで
ででで
ででで
ででで
ででで
ででで
ででで
ででで
・・・
きんと。

256 :132人目の素数さん:02/02/03 03:27
x(1),x(2),x(3),...がaに収束するなら
y(n)={x(1)+x(2)+...+x(n)}/n という数列y(n)もaに収束する。
超準解析ではどういうふうに証明するんですか?

257 :132人目の素数さん:02/02/03 05:16
証明の要で使うことはあるけど。
別に
ε→0 as n→0
みたいなのでも間に合うことは間に合う。

258 :細かいとこは抜かすよ:02/02/04 15:16
>>256
まずある実数r>0をとると、あらゆるν∈N^*に対して |x(ν)-b|≦r
無限大自然数λに対して
1/λ納1≦ν≦λ] |x(ν)-b|が無限小である事を証明すればいい。
κ≦√λ≦κ+1なるκ∈N^*を取る。
x(n)→aよりε=max[κ+1≦ν≦λ] |x(ν)-b| ってのがあって、無限小だから
1/λ納1≦ν≦λ] |x(ν)-b|
=1/λ納1≦ν≦κ] |x(ν)-b| + 1/λ納κ+1≦ν≦λ] |x(ν)-b|
≦κr/λ + (λ-κ)ε/λ≦r/κ +ε≒0

259 :258:02/02/04 15:18
こういうのをやるにはまずε-δ論法を知っておくべきじゃないかと自分は思うんだけどね…

260 :132人目の素数さん:02/02/04 17:23
>>256
とくに簡単になることはないと思う。本にどう書いてあるかはしらないが
ある無限大のところで一度切ってという議論が必要だと思う。
このようなところは、極限操作が何度も繰り返されていないから超準解析
のよさが現われないところではないか?と思う。

261 :132人目の素数さん:02/02/06 02:45
英語だと理解しやすいのか?

262 :132人目の素数さん:02/03/01 02:40
某スレ対抗あげ

263 :132人目の素数さん:02/03/01 03:03
>>261
数学は、英語のほうが圧倒的に解りやすい
日本語には、助詞があるので、「言葉の」順序を変えると、
意味が変わるという感覚を持っている人が少ない。
収束と一様収束の違いは、日常語話す英語で、伝えることが可能。

264 :132人目の素数さん:02/03/30 01:14


265 :132人目の素数さん:02/04/19 19:58
>>263
順序が変われば意味が変わる言葉で説明するほうが下手だと思う。

266 :132人目の素数さん:02/04/19 20:11
例題。次の命題が真が偽かを述べなさい。
また、日本語に訳しなさい。

(1)For any integer N, there exists some integer A such that N+A=0
(2)Tere exists some integer A such that for any integer N, N+A=0

integerは整数

267 :132人目の素数さん:02/04/19 21:41
タイプミス(2)Tere→Thereです。てか誰か答えてよ!

268 :132人目の素数さん:02/04/21 22:56
>>266
(1)任意の整数Nに対して、N+A=0を満たす、ある整数Aが存在する.
これは真.整数環はその任意の元に対する逆元を持っている.
(2)
Tereがわかりません.(w


269 :132人目の素数さん:02/04/24 21:40
>>268
>>267だってば。

270 :132人目の素数さん:02/04/24 22:32
>>269
うそうそ.わざとです.(w

(2)ある整数Aに対して、N+A=0を満たす、任意の整数Nが存在する.
これは偽.A=1、N=1のとき、N+A≠0.


271 :>:02/04/24 22:43
え、素直に読めば exist するのは some A でしょ。
2)
ある整数Aが存在する。
  Aは次のような性質をもつ
 任意の整数N について N+A= 0 をみたす。
 
 加法のかわり乗法をもってくれば真かな。

-------
1) 任意のNについて Nに依存するAが存在して( Aの値はN毎に違ってよい)
N+A =0をみたす

2) なんかしらんけど Nなんぞに依存しない Aがあって、
  その Aは何に対しても A + N =0 となる



272 :132人目の素数さん:02/04/24 22:44
「for any integer N」がどこに掛っているか判れば簡単だYO!

273 :132人目の素数さん:02/04/24 22:46
教えてもらうほうが偉そうにしてて、教えるほうが敬語を使う。
270は自虐的だな(w


274 :132人目の素数さん:02/04/24 22:49
>>271
>え、素直に読めば exist するのは some A でしょ。

論理記号に落として日本語に読みなおすとそうなるんだYO!

275 :132人目の素数さん:02/04/24 23:03
>exist するのは some A でしょ。

こんなことを言っている>>271はうすぼんやりと理解してるだけ.
論理的には理解できていない.(w

276 :132人目の素数さん:02/04/24 23:15
日本語は難しいにゃ〜

277 :266:02/04/24 23:38
模範解答として、次のような訳をお勧めします。

(1)任意の整数Nに対して、次を満たすAが存在する。
  N+A=0

(2)次を満たす整数Aが存在する。
  任意のNに対してN+A=0

この訳ならば、何が条件で何が結論か一目瞭然です。

>>268
>(1)任意の整数Nに対して、N+A=0を満たす、ある整数Aが存在する。
これが典型的な誤訳です。この訳は『任意の整数Nに対して』が
『ある整数Aが存在する』にかかっていると言う解釈(1)と
『N+A=0』にかかっていると言う解釈(2)の二通りの解釈を許してしまいます。
(1)(2)の真偽は異なりますのでこれは大変まずい。

また、(1)の訳として、
任意の整数Nに対して、ある整数Aが存在して、N+A=0
というものがあります。
これならば『任意の整数Nに対して』が途中を飛び越えて『N+A=0』に
かかると言う解釈はまずありえないだろう、というわけです。

278 :266:02/04/24 23:59
で、

For any number ε>0, there exists some nutural number N such that for any integer n≧N, |a_n -α|<ε

これがε-N論法ですな。>>277の最後に紹介した訳をすると、おなじみのアレになるわけです。

任意の数εに対して、ある整数Nが存在して、n≧Nとなる任意のnに対して|a_n -α|<ε

あうー。。。というわけでさっきお勧めした訳でやってみましょう。

任意の数εに対して、次を満たす整数Nが存在する。
 任意のn≧Nに対して|a_n -α|<ε

たぶんこっちのがスッキリ。なハズ。

279 :132人目の素数さん:02/04/25 00:00
なるほど、勉強になります.
でも句読点を的確に使えば『次』とわざわざ
やることも無いと思う.
文章を分割するのは上手くない…と思うけど.

でも、誤訳よりは良いでしょうが(w

>任意の整数Nに対して、ある整数Aが存在して、N+A=0
日本語としてこ馴れていない感じもするけど、こちらの方が良いと思う.

まあ、最終的には相手に理解してもらえないなら誤訳と言って良い訳ですから.
数学の場合は(w

数学とは証明なり.
証明とは、言葉の連鎖だと彌永昌吉の本にも書いてあった.
ところが日本語であれ英語であれ言葉だと誤解を生みやすい.
そこで記号を使うわけだけど、

つまり記号と言葉はどちらも大事で、表裏一体の概念ということです.>>263,>>265

280 :132人目の素数さん:02/04/25 00:08
(1)任意の整数Nに対してN+A=0を満たす、
  ある整数Aが存在する.
(2)ある整数Aに対してN+A=0を満たす、
  任意の整数Nが存在する.

句読点を治せばこれで十分.



281 :132人目の素数さん:02/04/25 16:33
>>271 は間違ってないような気がする。 とりあえず、英語として正しく読めなきゃ論外だと思うんだけど…

282 :132人目の素数さん:02/04/28 15:23
>>266はその例題で何を言いたいんだE?
次の展開は?

283 :132人目の素数さん:02/04/28 20:38
270,280 にある「任意のAが存在する」なんて表現は数学をする人の
表現とは思えない。「あるAが存在する」っていうのもおすすめできない。
「Aが存在する」といえばよい。同様の理由で There exists some A ,,,
なんてのは慣用ではあるが数学の表現としては There exists an A ,,,
の方がずっと気持ちがよい。数学の表現は論理式で書けるのだから「任意」
と「存在」の区別こそが大切なのに「任意のAが存在する」なんて表現は
論外!

284 :132人目の素数さん:02/04/28 22:14
>>283
何を力説したいの(w
その例題の次の展開を示せYO!

285 :132人目の素数さん:02/04/28 22:17
単発の問題かYO!

286 :132人目の素数さん:02/04/28 22:25
>>284
普通に考えると一様連続から一様収束へ説明して
ε‐δを使うんじゃないの?
無意味な例題じゃ誰も答んだろ(w

287 :266:02/04/28 22:34
>>282
えーっと、その
ε-δ論法をわかりづらくしている一つの原因として、
「任意のε>0に対して、δが存在して、〜」
という日本語が、どうも馴染み無くぎこちないという事が
挙げられるんじゃないかと思いまして・・・

288 :132人目の素数さん:02/04/28 22:48
>>287
一様連続や一様収束で
εとδの相互関係がいかに抑えられるか
という例を示せば十分と思われる.


289 :132人目の素数さん:02/04/28 23:05
>>284
なにも力説などしたくない。ただ平明に書けばよいのに変に形容詞を
つけるなといってるだけ。「任意の A が存在する」なんて表現をみて
なんとも思わないひとは証明をちゃんと書けないと思う。
あなたがそういう人かは知らないけどね。わたしゃ 282 に答えたの
ではない。
>>287
日本語としてどうのこうのでなく、論理的な受け止め方を問題にすべき
だと思います。数学以外の場面で「任意」「存在」が組合わさる論理的
に複雑な性質はあまりないと思う。だから日本語の表現の問題ではない
と思います。上記の「平明に書け」というのも余計な形容詞をつけるこ
とで論理性への焦点がぼけないようにした方がよかろうと書いたのです。

290 :132人目の素数さん:02/04/28 23:06
>>287
もう書いてあるけどε−δは一様連続と一様収束が理解できれば十分だ.
言葉の問題は東大の上野健爾がよく力説してる.
でも現実的には一様連続と一様収束を理解するほうが大事.

291 :132人目の素数さん:02/04/28 23:18
ずっと前にも書いてあるけど、「任意」「存在」は一様性で問題なだけでなく
数学の色々な概念を正確に定義するのに不可欠だから、ともかく正確に理解で
きることは大切なのでしょう。

292 :132人目の素数さん:02/04/29 00:37
>>291
>数学の色々な概念を正確に定義するのに不可欠だから
例えば?

293 :132人目の素数さん:02/04/29 00:45
291の代わりに>>292へお返事

微分方程式の安定性
「安定」「一様安定」「漸近安定」「一様漸近安定」等の定義
これらの定義にはεδが用いられています。

294 :132人目の素数さん:02/04/29 01:02
>>293
へー。はじめて聞きます。
ありがとう。
調べてみます。

295 :132人目の素数さん:02/04/29 06:34
>>291
たとえば距離空間で P が開集合とは、「任意の P の点 x について
a>0 が存在し、「d(x,y) < a となる任意の y について y が P に
属する」」 であること。
開集合でこれだから、ユークリッド空間を基礎概念としても、多様体
なんてなると、開集合族が存在し、、、、となり大変である。そして
座標系の同値性、同値だと写像の微分可能性が不変である、などなど
どんどん複雑になる。
このような「任意」「存在」の数と概念の複雑さは必ずしも直接関係
しないが、数が少なければ、あまり複雑にはならない。というわけで
数学の概念の正確な理解には「任意」「存在」ってのは大切なのでしょう。

296 :132人目の素数さん:02/04/29 06:45
訂正: 295の一行目、「任意の P の点 x」の任意は「点 x」にかかる
ので「P の任意の点 x」と書いた方がよかった。

297 :132人目の素数さん:02/04/29 13:10
数学板で296のように訂正しないと突っ込んでくる人がいるように
数学でも任意、存在ってのを正確に言わないと突っ込んでくる人がいる。

そこら辺は面倒くさい事の1つだろうけど、見ず知らずの人にも説明出来る
物でなければいけない学問であるから仕方ない事なんだろう

298 :132人目の素数さん:02/04/29 15:40
>>297
そだねー

299 :132人目の素数さん:02/04/29 15:52
「任意」「存在」の数が増えるごとに
概念の複雑さが増すので言葉では説明しにくくなっていく。
だから>>289は短く切って簡潔に判りやすくしようということかな。

ε−δの方は別なアプローチで、
記号を使って判りやすくしましょうということ。

アプローチが違うんだから受け手によって、
どれが判りやすいかという印象は違うよね。

記号であれ、言葉であれ、どちらにしても正確に使うことが大事で、
概念を正確に表わし、論理を辿れれば数学として成り立ちますね。


300 :132人目の素数さん:02/04/29 19:00
  ∧∧
 (゚д゚ )
300げっと!

301 :132人目の素数さん:02/04/29 23:03
日本の場合、論理を軽視しすぎるからε−δで躓くのではないかな。
一般教養が終わって、アメリカとかの中学程度でやっている論理が
終わる幹事だからね。
まあ、アメリカが良いとは言わないが(w

ちなみに、そのアメリカはε−δを授業では扱いません。

302 :132人目の素数さん:02/04/29 23:21
ε-δを扱った授業、それを教えるための授業は無いけど、
数学の授業でε-δを道具として使う、って事だよね?

303 :132人目の素数さん:02/04/30 01:09
>>302
院ではε−δをやるけど大学ではやらない.
知ってる範囲では
プリンストン、キャルテクではやっていない.
普通は院で、Rudinあたりをやるころに、
関数解析まで視野にいれて取り組む.

304 :132人目の素数さん:02/04/30 01:23
ラング「解析入門」岩波
を見れば話は早い.
ε−δを使わない日本の高校方式で連続等を済ませてしまう.

305 :132人目の素数さん:02/04/30 01:39
MITのテキスト一覧
http://www-math.mit.edu/text-only/undergraduate/class-textbooks.html

306 :132人目の素数さん:02/04/30 01:50
MITのテキストへのリンク
http://www.wiley.com/cda/product/0,,0471000051,00.html
http://www.wiley.com/cda/product/0,,0471000078,00.html


307 :132人目の素数さん:02/04/30 02:09
>>305
18.100B *Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed. Rudin McGraw-Hill

MITでは今でもルディンを使ってるんだぁー
ストラングよりこっちのほうがいい本だよ。

308 :132人目の素数さん:02/04/30 23:28
ルディンの本や、線型代数の佐武のなんかは
初学者には壁になるけど、ある程度わかってくると
名著だと思える本だよね。

309 :132人目の素数さん:02/05/01 20:25
For any number ε>0,there exists some natural number N such that for any integer n≧N,|an−α|<ε
これがε-N法。

(1)For any integer N, there exists some integer A such that N+A=0
(2)Tere exists some integer A such that for any integer N, N+A=0

(1)は、
任意の整数Nに対して、次の条件を満たす整数Aが存在する。
N+A=0 これは真。
(2)は、
ある整数Aが存在して、次の条件を満たす。
任意の整数Nに対して N+A=0 これは偽。


310 :132人目の素数さん:02/05/01 20:28
>>309
>>266のやつね。ちゃんとした答えをキボン。


311 :132人目の素数さん:02/05/03 00:10



312 :132人目の素数さん:02/05/04 08:51
age

313 :132人目の素数さん:02/05/04 10:29
18.100B *Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed. Rudin McGraw-Hill

これのペーパーバックでないかなぁ〜

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